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Dés non-transitifs
Des dés non-transitifs sont un ensemble de dés où, si un premier dé a plus de chances de donner un plus grand résultat qu'un deuxième et si celui-ci a plus de chance qu'un troisième, ce dernier peut tout de même avoir plus de chance de l'emporter sur le premier. En d'autres termes, la relation « a une plus grande probabilité de donner un plus grand nombre » n'y est pas transitive.
Cette situation est similaire à celle du jeu Pierre-feuille-ciseaux où chaque élément gagne par rapport à l'un des deux autres et perd par rapport au dernier.
Sommaire
Exemples
Exemple général
Un exemple de dés non-transitifs (les faces cachées ont les mêmes valeurs que celles affichées).
Dans le jeu de trois dés à 6 faces A, B, C suivant :
- le dé A porte les numéros {2,2,4,4,9,9} sur ces faces ;
- le dé B porte {1,1,6,6,8,8} ;
- le dé C porte {3,3,5,5,7,7}.
Alors :
- la probabilité que A donne un plus grand nombre que B est 5/9 ;
- la probabilité que B donne un plus grand nombre que C est 5/9 ;
- la probabilité que C donne un plus grand nombre que A est 5/9 ;
Dans cet exemple, A a plus de chances de gagner sur B, qui a lui même plus de chances de l'emporter sur C, lequel a à son tour plus de chances de donner un plus grand résultat que A.
Dés d'Efron
Dés d'Efron.Les dés d'Efron sont un jeu de quatre dés non-transitifs inventés par Bradley Efron. Les quatre dés A, B, C, D portent les numéros suivants sur leurs six faces :
- A : 4, 4, 4, 4, 0, 0 ;
- B : 3, 3, 3, 3, 3, 3 ;
- C : 6, 6, 2, 2, 2, 2 ;
- D : 5, 5, 5, 1, 1, 1 ;
La probabilité que A batte B, B batte C, C batte D et D batte A est égale à 2/3.
Les autres probabilités varient suivant les dés :
- la probabilité que A batte C est de 4/9 ;
- la probabilité que B batte D est égale à 1/2 ;
- la probabilité que C batte A vaut 5/9 ;
- la probabilité que D batte B est de 5/9 ;
En revanche, la probabilité qu'un dé en batte un autre pris au hasard parmi les trois restants n'est pas égale suivant les dés :
- dans le cas de A, elle vaut 13/27 ;
- pour B, 1/2 ;
- pour C, 14/27 ;
- pour D, 1/2.
Globalement, le meilleur dé pour gagner un jeu totalement aléatoire est donc C, qui gagne dans près de 52% des cas.
Dés numérotés de 1 à 24
Un jeu de quatre dés utilisant tous les nombres de 1 à 24 peut être rendu non-transitif avec la combinaison suivante :
- A: 1, 2, 16, 17, 18, 19
- B: 3, 4, 5, 20, 21, 22
- C: 6, 7, 8, 9, 23, 24
- D: 10, 11, 12, 13, 14, 15
B bat A, C bat B, D bat C et A bat D avec la probabilité de 2/3.
Dés de Miwin
Dés de Miwin.Les dés de Miwin ont été inventés en 1975 par le physicien Michael Winkelmann et sont répartis de la sorte :
- A : 1, 2, 5, 6, 7, 9
- B : 1, 3, 4, 5, 8, 9
- C : 2, 3, 4, 6, 7, 8
B l'emporte sur A, C sur B et A sur C avec la probabilité 17/36.
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
- (en) Efron's Dice (MathWorld)
- (en) Tricky Dice Revisited (Science News)
- (en) Non-Transitive Dice (Jim Loy)
- (en) Miwin's Dice.
Bibliographie
- Gardner, Martin. The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems: Number Theory, Algebra, Geometry, Probability, Topology, Game Theory, Infinity, and Other Topics of Recreational Mathematics. 1st ed. New York: W. W. Norton & Company, 2001. 286-311.
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