Démonstration du produit de Wallis
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Produit de Wallis
En mathématiques, le produit de Wallis est une expression de la moitié de la constante π sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1655 par John Wallis.
Expression
Ce produit peut s'écrire sous la forme :
![\prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{8}{9} \cdots = \dfrac{\pi}{2}.](/pictures/frwiki/57/91c5f747203d72e3ec1c3a025241bbc3.png)
Démonstration
L'égalité est une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour le sinus :
![\dfrac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \dfrac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \dfrac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \dfrac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots](/pictures/frwiki/100/d7491003f0028c94eb1997ba06676a84.png)
Si
,
![\dfrac{1}{\pi / 2} = \left(1 - \dfrac{1}{2^2}\right)\left(1 - \dfrac{1}{4^2}\right)\left(1 - \dfrac{1}{6^2}\right) \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \dfrac{1}{4n^2}\right)](/pictures/frwiki/100/dd7b2f34d48108810723e64223620ba5.png)
![\dfrac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{4n^2}{4n^2 - 1}\right)](/pictures/frwiki/49/1ee14230362ead425e144b9125bf7db7.png)
![= \prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{8}{9} \cdots](/pictures/frwiki/49/1ce0f9cbb70d66889e0312d36e13a294.png)
Lien externe
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