Démonstration du produit de Wallis

Démonstration du produit de Wallis

Produit de Wallis

En mathématiques, le produit de Wallis est une expression de la moitié de la constante π sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1655 par John Wallis.

Expression

Ce produit peut s'écrire sous la forme :

\prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{8}{9} \cdots = \dfrac{\pi}{2}.

Démonstration

L'égalité est une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour le sinus :

\dfrac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \dfrac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \dfrac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \dfrac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots

Si x=\dfrac{\pi}{2}\,,

\dfrac{1}{\pi / 2} = \left(1 - \dfrac{1}{2^2}\right)\left(1 - \dfrac{1}{4^2}\right)\left(1 - \dfrac{1}{6^2}\right) \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \dfrac{1}{4n^2}\right)
\dfrac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{4n^2}{4n^2 - 1}\right)
= \prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{8}{9} \cdots

Lien externe

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