Produit de Wallis

Produit de Wallis

En mathématiques, le produit de Wallis est une expression de la moitié de la constante π sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1655 par John Wallis, dans son ouvrage Arithmetica infinitorum.

Sommaire

Expression

Ce produit peut s'écrire sous la forme :

\prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{8}{9} \cdots = \dfrac{\pi}{2}.

Démonstration

L'égalité est une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour le sinus :

\dfrac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \dfrac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \dfrac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \dfrac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots

Si x=\dfrac{\pi}{2}\,,

\dfrac{1}{\pi / 2} = \left(1 - \dfrac{1}{2^2}\right)\left(1 - \dfrac{1}{4^2}\right)\left(1 - \dfrac{1}{6^2}\right) \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \dfrac{1}{4n^2}\right)
\dfrac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{4n^2}{4n^2 - 1}\right)
= \prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{8}{9} \cdots

Vitesse de convergence

La vitesse de convergence de la suite P_N = \prod_{n=1}^{N} \dfrac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} des produits finis lorsque N tend vers l'infini est assez lente, l'écart avec π / 2 étant un O(1/N). Cette suite n'est donc pas utilisée numériquement pour calculer des valeurs approchées de π. La précision peut cependant être améliorée en multipliant PN par un développement limité dont les premiers termes sont[1] :

1 + \frac{1}{4N} - \frac{3}{32N^2} + \frac{3}{128N^3} + o(\frac{1}{N^3}).

Ainsi, pour N = 10, on obtient :

P_N \simeq 1.533851903
P_N(1 + \frac{1}{4N}) \simeq 1.572198201
P_N(1 + \frac{1}{4N} - \frac{3}{32N^2}) \simeq 1.570760215
P_N(1 + \frac{1}{4N} - \frac{3}{32N^2} + \frac{3}{128N^3}) \simeq 1.570796164

alors que \frac{\pi}{2} \simeq 1.570796327

Lien externe

Références

  1. ↑ Cristinel Mortici, Product approximations via asymptotic integration, 117, n°5, Amer. Math. Monthly, (mai 2010), 434-442

Wikimedia Foundation. 2010.

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