Dégénérescence (mathématiques)

Dégénérescence (mathématiques)
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En mathématiques, un cas dégénéré est un cas limite dans lequel une classe d'objet change sa nature pour appartenir à une autre classe habituellement plus simple.

Parmi de nombreux exemples, on trouve :

  • Le point est un cercle dégénéré, autrement dit de rayon 0. Le cercle est lui-même une forme dégénérée d'une ellipse, autrement dit avec une excentricité égale à 0.
  • La droite est une forme dégénérée d'une parabole si la parabole est située dans un plan tangent. Elle est aussi la forme dégénérée d'un rectangle, s'il a un côté de longueur 0.
  • Le carré est une forme dégénérée du rectangle si celui-ci a sa longueur égale à sa largeur.
  • Une hyperbole peut dégénérer en deux droites qui se croisent en un point, à travers une famille d'hyperboles ayant ces droites comme asymptotes communes.
  • Un système linéaire de n équations à n inconnues a généralement une solution unique. Les cas singuliers où ce système n'a pas de solution, ou a une infinité de solutions, sont les cas où le système est dit dégénéré.
  • Un ensemble contenant un seul point est un continuum dégénéré.
Article détaillé : position générale.

pour d'autres exemples.

Un autre usage du mot est utilisé pour les problèmes d'algèbre linéaire : une valeur propre dégénérée est une qui possède plus d'un vecteur propre linéairement indépendant.

Rectangle dégénéré

Pour un sous-ensemble quelconque non vide d'indices \{1, 2, \ldots, n\},, un rectangle dégénéré borné R\, est un sous-ensemble de \mathcal{R}^n de la forme suivante :

R = \left\{\mathbf{x} : x_i = c_i \ (\mathrm{pour} \ i\in S) \ \mathrm{et} \ a_i \leq x_i \leq b \ (\mathrm{pour} \ i \notin S)\right\}

où \mathbf{x}= [x_1, x_2, \ldots, x_n].

Le nombre de côtés dégénérés de R\, est le nombre d'éléments du sous-ensemble S\,. Ainsi, il peut y avoir seulement un "côté" dégénéré ou autant que n (dans ce cas R\, se réduit à un point unique).

Voir aussi


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