- Distance ultramétrique
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En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble X vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :
. Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique.
Sommaire
Définition et exemples
Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application vérifiant les propriétés suivantes :
Nom Propriété symétrie séparation inégalité ultratriangulaire Il est à noter que l'inégalité ultratriangulaire implique l'inégalité triangulaire .
Distance triviale
Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale définie par:
L'inégalité
est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.
Distance p-adique sur l'ensemble
Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique vp(r) de tout nombre rationnel r non nul. Voir: Nombre p-adique
On prouve facilement que cette application vérifie
- et .
On définit alors la distance p-adique sur par:
La première propriété précédente conduit facilement à
ce qui implique facilement l'inégalité triangulaire, les autres vérifications étant aisées[1].
Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur .
Autres exemples
En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.
Propriétés
Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.
- Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre:
DémonstrationSoit y vérifiant et . Alors
La démonstration s'adapte facilement dans le cas de boules fermées.
- Tout point d'une boule en est un centre:
DémonstrationD'après la propriété précédente, puisque et ont x en commun, et qu'elles ont même rayon, elles sont incluses l'une dans l'autre donc égales.
- Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus:
Toute boule fermée est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.
DémonstrationLa boule fermée est un ouvert, car si , la boule ouverte de centre x et de rayon r est contenue dans , puisque les boules fermées sont égales d'après la propriété précédente.
Soit U le complémentaire de la boule ouverte . Si x est dans U, alors U contient la boule ouverte , sinon et auraient un point commun, ce qui impliquerait d'après la première propriété que , alors que x est dans la première boule mais pas dans la seconde. Il en résulte que U est un ouvert, donc la boule ouverte est fermée.- Étant donné trois points, deux d'entre eux sont à la même distance du troisième, ce qui fait que tout triangle est isocèle :
DémonstrationSupposons par exemple . Puisque , on ne peut avoir aussi , donc , mais par ailleurs, et on a bien obtenu l'égalité.
Voir aussi
Notes et références
- Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, pp.652&653
Catégories :- Espace métrique
- Distance et longueur
- Distance remarquable
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