Distance ultramétrique

En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble X vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

$d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))$ .

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique.

Définition et exemples

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application $d : \mathrm{E}\times \mathrm{E} \rightarrow \mathbb{R}^+$ vérifiant les propriétés suivantes :

Nom	Propriété
symétrie	$\forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=d(y,x)$
séparation	$\forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
inégalité ultratriangulaire	$\forall x,y,z\in \mathrm{E},\ d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))$

Il est à noter que l'inégalité ultratriangulaire implique l'inégalité triangulaire $\forall x,y,z\in \mathrm{E},\ d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ .

Distance triviale

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale définie par:

$d(x,y)= \begin{cases} 0 & \mbox{si } x=y \\ 1 & \mbox{si } x \ne y \end{cases}$

L'inégalité

$d(x,z) \leq \max (d(x,y), d(y,z))$

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Distance p-adique sur l'ensemble $\Q$

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique $v p (r)$ de tout nombre rationnel r non nul. Voir: Nombre p-adique

On prouve facilement que cette application vérifie

$v_{p}(r+r') \geq \inf (v_{p}(r), v_{p}(r'))$ et $v_{p}(-r) = v_{p}(r)~$ .

On définit alors la distance p-adique sur $\Q$ par:

$d(x,y)= \begin{cases} 0 & \mbox{si } x=y \\ p^{-v_{p}(x-y)} & \mbox{si } x \ne y \end{cases}$

La première propriété précédente conduit facilement à

$d(x,z) \leq \max (d(x,y), d(y,z))$

ce qui implique facilement l'inégalité triangulaire, les autres vérifications étant aisées^[1].

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur $\Q$ .

Autres exemples

En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.

Propriétés

Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre:

$B(a,r)\, \cap B(a',r')\, \ne \empty\ {\rm et}\ r \leq r' \Rightarrow B(a,r)\, \subset B(a',r')\,$

Démonstration

Soit y vérifiant $d(a,y)<r \le r'$ et $d(a',y)<r'~$ . Alors

$d(a,x)<r \Rightarrow d(x,y) \le \max(d(x,a),d(a,y)) < r \Rightarrow d(a',x) \le \max(d(a',y),d(y,x)) < r'.$

La démonstration s'adapte facilement dans le cas de boules fermées.

Tout point d'une boule en est un centre:

$x \in B(a,r)\, \Rightarrow B(x,r)\, = B(a,r)\,$

Démonstration

D'après la propriété précédente, puisque $B(a,r)\,$ et $B(x,r)\,$ ont x en commun, et qu'elles ont même rayon, elles sont incluses l'une dans l'autre donc égales.

Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus:

Toute boule fermée est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.

Démonstration

La boule fermée $B'(a,r)\,$ est un ouvert, car si $x \in B'(a,r)\,$ , la boule ouverte de centre x et de rayon r est contenue dans $B'(a,r)\,$ , puisque les boules fermées sont égales d'après la propriété précédente.
Soit U le complémentaire de la boule ouverte $B(a,r)\,$ . Si x est dans U, alors U contient la boule ouverte $B(x, \frac{r}{2})\,$ , sinon $B(a,r)\,$ et $B(x, \frac{r}{2})\,$ auraient un point commun, ce qui impliquerait d'après la première propriété que $B(x, \frac{r}{2})\, \subset B(a,r)\,$ , alors que x est dans la première boule mais pas dans la seconde. Il en résulte que U est un ouvert, donc la boule ouverte $B(a,r)\,$ est fermée.

Étant donné trois points, deux d'entre eux sont à la même distance du troisième, ce qui fait que tout triangle est isocèle :

$d(x,y) \ne d(y,z) \Rightarrow d(x,z)= \max(d(x,y),d(y,z))$

Démonstration

Supposons par exemple $d(x,y)<d(y,z)~$ . Puisque $d(y,z) \le \max(d(y,x),d(x,z))$ , on ne peut avoir aussi $d(x,z)<d(y,z)~$ , donc $d(y,z) \le d(x,z)$ , mais par ailleurs, $d(x,z) \le \max(d(x,y),d(y,z)) =d(y,z)$ et on a bien obtenu l'égalité.

Voir aussi

Notes et références

↑ Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, pp.652&653

Catégories :

Espace métrique
Distance et longueur
Distance remarquable

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