- Ordre dense
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Sommaire
Ensemble ordonné dense en lui-même
Un ensemble ordonné
est dit dense en lui-même, ou plus simplement dense, si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E tels que x<y il existe un élément z de E tel que x<z<y.
Par exemple, pour les ordres usuels, l'ensemble des rationnels
et l'ensemble des réels
sont denses en eux-mêmes alors que l'ensemble des entiers relatifs
ne l'est pas.
Cantor a démontré que tout ensemble totalement ordonné, dénombrable et dense en lui-même sans maximum ni minimum est isomorphe[1] à
muni de l'ordre usuel. C'est notamment le cas, toujours pour l'ordre usuel, de
, de
, de
ou encore de l'ensemble des nombres réels algébriques sur
.
Sous-ensemble dense d'un ensemble ordonné
Définition
Un sous-ensemble X d'un ensemble ordonné
est dit dense dans E si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E tels que x<y, il existe un élément z de X tel que x<z<y.
Par exemple, pour l'ordre usuel,
est dense dans
.
La notion d'ensemble ordonné dense en lui-même n'en est donc que le cas particulier où X=E.
Lien avec la topologie
Si E est un ensemble ordonné, les intervalles de la forme
forment une base d'ouverts d'une topologie appelée topologie de l'ordre.
Dans ce cas, un sous-ensemble X de E qui est dense au sens précédent de la relation d'ordre est bien dense dans E au sens de cette topologie. Cependant, la réciproque est fausse : un ensemble ordonné est toujours dense dans lui-même pour la topologie de l'ordre (comme pour n'importe quelle topologie) sans être nécessairement dense en lui-même pour sa relation d'ordre, comme le montre l'exemple de
pour l'ordre usuel.
Notes
- L'isomorphisme est ici à prendre dans la catégorie des ensembles ordonnés, c'est-à-dire qu'il existe une bijection strictement croissante entre l'ensemble considéré et l'ensemble des rationnels.
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