Degré (angle)

Pour les articles homonymes, voir Degré.

Un angle de 45 degrés

Un degré, généralement représenté par ° (le symbole degré), est une mesure d'un angle plan, qui représente le ¹⁄₃₆₀^e d'un tour complet ; un degré est aussi équivalent à π/180 radians. Lorsque cet angle est en rapport avec un méridien de référence, il indique un emplacement le long d'un grand cercle d'une sphère, comme la Terre (voir Coordonnées géographiques), Mars ou la sphère céleste^[1]. Le rapport entre 365,25 (nombre de jours moyen de la rotation de la Terre autour du soleil) et 360° (tour complet) est intéressant, et permet d'établir l'approximation suivante : "La Terre tourne d'environ un degré autour du soleil chaque jour".

Historique et généralités

Le degré, divisé en minutes et secondes qui sont des soixantièmes, vient des Babyloniens, qui comptaient en base 60 (sexagésimale). Les mathématiciens arabes ont poursuivi et mesuré les angles célestes et terrestres de la même manière. La mesure du temps de cette façon, directement issue des angles astronomiques, en a découlé.

L’utilité originelle des 360° du système sexagésimal est de faciliter le calcul des fractions (et des multiplications). En effet, 360 étant le multiple de (1 × 2 × 3 × 4 × 5) x 3, il se divise donc par ces multiples ainsi que par 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. c’est-à-dire toutes les combinaisons de ces multiples.

Ainsi : ³⁄₅ - ¹⁄₃ = ⁹⁄₁₅ - ⁵⁄₁₅ = ⁴⁄₁₅ correspond à 216° - 120° = 96° ce qui est plus aisément calculable sans calculateur que 0,6 - 0,333… = 0,266… Avec une légère familiarisation, et cela tout en se passant de la méthode du commun dénominateur, on s’aperçoit que le résultat 96° = 4 × 24° soit quatre quinzièmes. Une approche alternative aura aussi donné à voir que 90° + 6° est égal à un quart plus un soixantième, ou encore 60° + 36°, soit un sixième plus un dixième.

Finalement, du fait que 360° égale 0°, on se retrouve à calculer en modulo 360 lorsque l’on parle en degrés. On peut souvent opérer les calculs dans les modulos inférieurs que sont les multiplicateurs de 360. Au plus simple, sept demi-tours valent un demi-tour. En langage mathématique : 7 ≡ 1 (mod 2), sept est congru à un, modulo deux ; et 7 × 180° = 1260° ≡ 180° (mod 360°). En pratique, on se contente de dire sept fois cent quatre-vingts degrés est égal à cent quatre-vingts degrés. De même 120° + 270° = 390° ≡ 30° (mod 360°).

Mesure d'angle plan

Le degré d’arc (symbole °) est une unité pratique d’angle plan. Un angle plat vaut 180°. Bien qu’en dehors du système international (SI), le degré est en usage avec lui.

Un degré vaut ^π⁄₁₈₀ radians, ¹⁰⁄₉ grades ou ¹⁶⁰⁄₉ mils, soit ¹⁄₃₆₀ d’un tour complet.

Les préfixes du SI sont rarement appliqués aux symboles du degré d’arc et de ses subdivisions (uniquement à la seconde d’arc, en fait) ; ces symboles sont également les seuls à ne pas être séparés du nombre les précédant par une espace : on doit écrire « 12° 30′ » et non « 12 ° 30 ′ ».

Mesure d'angle solide

En astronomie de position, le degré carré est utilisé pour mesurer un angle solide^[2] sur la sphère céleste. Un degré carré vaut stéradian.

Sous-unités

Un degré est subdivisé en 60 minutes d’arc (symbole ′), elles-mêmes divisées en 60 secondes d’arc (symbole ″).

• 1′ = 0,016 6…°
• 1″ = 0,000 277…°
• 1‴ = 0,000 004629…°
• 1⁗ = 0,000 000 07716049382…°

On utilise aussi fréquemment la notation décimale : on notera aussi bien « 12,5° » que « 12° 30′ », ou encore, « 48.59039° » que « 48°35'25.4" ». La préférence dépend ici de l'outil de calcul et/ou de mesure.

Précautions de lecture

Les fonctions trigonométriques sont indépendantes de l’unité angulaire choisie. Mais en analyse, les fonctions sont définies par les valeurs prises par les fonctions pour des variables exprimées en radians.

Pour x l’angle mesuré en degrés, on a donc sin(x°)=sin(x×^π⁄₁₈₀), et de même pour les autres fonctions trigonométriques.

En astronomie ou en optique, on utilise l’approximation pour les faibles angles (inférieurs à 5°).

Le sinus et la tangente d’un angle faible sont quasi-égaux à sa valeur en radians.

Rappels

• La minute désigne ¹⁄₆₀ degré, la seconde ¹⁄₆₀ minute d’arc, il n’y a aucun lien dans la définition avec les minutes et secondes horaires du cadran des montres, si ce n'est l'utilisation du système sexagésimal.
• Les autres unités homonymes « minute », « seconde » d’ascension droite ou d’astronomie sont des mesures horaires utilisées surtout pour la mesure de la longitude céleste. En règle générale, quand aucune précision n’est donnée, on parle de minutes et de seconde d’arc et non pas d’ascension droite. Même en astronomie, on utilise également les unités dérivées du degré : le parsec, par exemple, est défini par rapport à la seconde d’arc.
• De même, toute unité d’angle ou de direction angulaire qu’on appellerait « heure » n’a aucun lien dans sa définition avec les minutes et secondes d’arc (il y a plusieurs unités dont le nom comprend « heure » : voir les pages respectives pour les rapports de conversion).
• Les fonctions trigonométriques peuvent être calculées à partir de la valeur de l’angle dans toute unité… à condition de vérifier que la calculatrice est convenablement réglée.

Notes et références

Voir aussi

• Angle
• Radian
• Grade (angle)

Formule d'équivalence entre angles, radians et grades :

X divisé par 360 en degrés, est égal à :

Y divisé par 400 en grades, et est égal à :

Z divisé par (2 fois Pi) en radians.

• Portail de la géométrie