Accélération De Coriolis

Accélération de Coriolis

L'accélération de Coriolis (nommée ainsi en l'honneur du savant français Gaspard-Gustave Coriolis) est un terme d'accélération qui intervient lorsque l'on étudie le mouvement d'un corps se déplaçant dans un référentiel en rotation par rapport au référentiel galiléen.

$\vec{a_C} = 2 \cdot {\vec{\Omega}}_{R/R_g} \wedge {\vec{v}}_{R/R_g}$

On lui fait souvent correspondre une force fictive correspondante afin de pouvoir continuer à étudier le corps considéré dans son référentiel en rotation (pour simplifier la résolution).

Calcul de l'accélération de Coriolis^[1]

Soit $\ \vec{r}\$ le rayon vecteur du point considéré dans le référentiel absolu R, d/dt l'opérateur dérivée totale dans R, $\delta/\delta t\$ l'opérateur dérivée relative dans le référentiel en mouvement R' et $\vec{\Omega}$ le vecteur vitesse de rotation instantanée. L'opérateur dérivation totale s'écrit alors selon la formule de Varignon:

$\frac{d}{dt}=\frac{\delta}{\delta t}+ \vec{\Omega}\wedge$

Cette expression peut se mettre au carré:

$\frac{d^2}{dt^2}=(\frac{\delta}{\delta t}+ \vec{\Omega}\wedge )(\frac{\delta}{\delta t}+ \vec{\Omega}\wedge )$

$=\frac{\delta^2}{\delta^2 t}+ \frac{\delta}{\delta t}(\vec{\Omega}\wedge) + \vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge)$

$=\frac{\delta^2}{\delta^2 t}+\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge+ \vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge)$

$=\frac{\delta^2}{\delta^2 t}+\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge+ 2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge)$

On remarque que, si la vitesse de rotation $\vec{\Omega}$ est constante, on retrouve la formule $(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2$ , ce qui explique le coefficient 2 de l'accélération de Coriolis.

On peut maintenant appliquer l'opérateur dérivée totale seconde au rayon vecteur $\ \vec{r}\$ :

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\frac{\delta^2\vec{r}}{\delta^2 t}+\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge\vec{r}+ 2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{r})$

L'accélération absolue

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

est la somme de quatre termes, l'accélération relative,

$\frac{\delta^2\vec{r}}{\delta^2 t}$

l'accélération tangentielle,

$\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge\vec{r}$

l'accélération de Coriolis:

$2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}$

et l'accélération centripète (égale et opposée à l'accélération centrifuge)

$\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{r})$

La somme de l'accélération tangentielle et de l'accélération centripète est l'accélération d'entraînement.

Il est inutile de faire intervenir une force fictive, l'accélération de Coriolis ou complémentaire est purement cinématique.

Références

↑ Smith P.,Smith R.C., Mechanics, Wiley

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Catégorie : Mécanique classique

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