Accélération de Coriolis

L'accélération de Coriolis (nommée ainsi en l'honneur du savant français Gaspard-Gustave Coriolis) est un terme d'accélération qui intervient lorsque l'on étudie le mouvement d'un corps se déplaçant dans un référentiel en rotation par rapport au référentiel galiléen.

$\vec{a_C} = 2 \cdot {\vec{\Omega}}_{R/R_g} \wedge {\vec{v}}_{M/R}$

On lui fait souvent correspondre une force fictive correspondante (la force de Coriolis) afin de pouvoir continuer à étudier le corps considéré dans son référentiel en rotation (pour simplifier la résolution).

Calcul de l'accélération de Coriolis

Soit $\ \vec{r}\$ le rayon vecteur du point considéré dans le référentiel absolu R, d/dt l'opérateur dérivée totale dans R, $\delta/\delta t\$ l'opérateur dérivée relative dans le référentiel en mouvement R' et $\vec{\Omega}$ le vecteur vitesse de rotation instantanée. L'opérateur dérivation totale s'écrit alors selon la formule de Varignon^[1] :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=\frac{\delta}{\delta t}+ \vec{\Omega}\wedge$

Cette expression peut s'élever (formellement) au carré :

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}=\left(\frac{\delta}{\delta t}+ \vec{\Omega}\wedge \right)\left(\frac{\delta}{\delta t}+ \vec{\Omega}\wedge \right)$

$=\frac{\delta^2}{\delta t^2 }+ \frac{\delta}{\delta t}(\vec{\Omega}\wedge) + \vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge)$

$=\frac{\delta^2}{\delta t^2}+\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge+ \vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge)$

$=\frac{\delta^2}{\delta t^2}+\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge+ 2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge)$

On remarque que, si la vitesse de rotation $\vec{\Omega}$ est constante, on retrouve la formule $(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2$ , ce qui explique le coefficient 2 de l'accélération de Coriolis.

On peut maintenant appliquer l'opérateur dérivée totale seconde au rayon vecteur $\ \vec{r}\$ :

$\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\delta^2\vec{r}}{\delta t^2}+\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge\vec{r}+ 2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}+\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{r})$

L'accélération absolue

$\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}$

est la somme de quatre termes, l'accélération relative,

$\frac{\delta^2\vec{r}}{\delta t^2}$

l'accélération tangentielle,

$\frac{\delta\vec{\Omega}}{\delta t}\wedge\vec{r}$

l'accélération de Coriolis:

$2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}$

et l'accélération centripète (égale et opposée à l'accélération centrifuge)

$\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{r})$

La somme de l'accélération tangentielle et de l'accélération centripète est l'accélération d'entraînement.

Il est inutile de faire intervenir une force fictive, l'accélération de Coriolis ou complémentaire est purement cinématique.

Interprétation

L'accélération de Coriolis permet l'interprétation de beaucoup de phénomènes à la surface de la Terre : par exemple le mouvement des masses d'air et des cyclones, la déviation de la trajectoire des projectiles à grande portée, le changement du plan de mouvement d'un pendule tel que montré par Foucault dans son expérience de 1851 au Panthéon de Paris, ainsi que la légère déviation vers l'est lors de la chute libre.

Références

↑ (en) P. Smith et R.C. Smith, Mechanics : Wiley series in introductory mathematics for scientists & engineers, Wiley-Blackwell, 1990, 342 p. (ISBN 0471927376)

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