Critère de Nagumo

Dans le cadre des équations différentielles, le critère de Nagumo est un critère plus faible que le théorème de Cauchy-Lipschitz donnant, tout comme le théorème de Cauchy-Lipschitz, une condition suffisante pour garantir l'existence et l'unicité d'une solution à un problème de Cauchy.

Sommaire

1 Enoncé
2 Existence d'une solution
3 Démonstration de l'unicité de la solution
4 Exemple
5 Notes
6 Références

Enoncé

Soient un ouvert $\Omega \subset \mathbb R\times\mathbb R^n$ et un champ de vecteurs continu $f : \Omega\mapsto \mathbb R^n$ . Si f vérifie la condition

$|t-t_0|\cdot ||f(t,u)-f(t,v)|| \le ||u-v||$

dans un cylindre $S\subset \Omega$ centré en $(t 0, u 0)$ , alors le problème de Cauchy

$u'=f(t,u), \,\,\, u(t_0) = u_0$

possède une solution unique.

Remarque : on appelle cylindre (fermé) de centre $(t 0, u 0)$ de demi-axe $\ell \in]0, \infty[$ et de rayon $r\in]0,\infty[$ , l'ensemble

$S=\left\{ (t,u)\in\mathbb R \times\mathbb R^n | \, |t-t_0|\le \ell,\, ||u-u_0||\le r \right\}$

où $||\cdot||$ désigne la norme euclidienne.

Existence d'une solution

Le résultat suivant ne tient pas uniquement pour le critère de Nagumo mais, de manière générale, il s'agit d'un critère d'existence sans condition de Lipschitz.

Existence sans condition de Lipschitz — Soient un ouvert $\Omega\subset \mathbb R\times \mathbb R^n$ et un champ de vecteurs continu $f:\Omega\mapsto\mathbb R^n$ . Pour toute donnée de Cauchy $(t 0, u 0)$ , il existe un intervalle fermé $I$ centré en $t 0$ et une solution $u:I\mapsto \mathbb R^n$ du problème de Cauchy $u'=f(t,u) ,\,\,\,u(t_0)=u_0$ .

Démonstration

On considère le cylindre $S\subset \Omega$ centré en $(t 0, u 0)$ de demi-axe $\ell$ et de rayon $r$ tels que :

$\ell \le {r\over A}$ où $\quad A = \max_{(t,u)\in S}||f(t,u)||$

et on montre qu'une solution existe dans l'intervalle $I=[t_0-\ell, t_0+\ell]$ .

Soit pour chaque entier $k\ge 1$ l'application $u_k : I\mapsto \mathbb R^n$ définie par :

$\begin{alignat}{2} u_k(t) &= u_0-\int_{t+\ell/k}^{t_0}f(s,u_k(s))\mathrm{d}s & \mathrm{si} \quad t\in [t_0-\ell, t_0-\ell/k[\\ u_k(t) &= u_0 &\mathrm{si} \quad t\in [t_0-\ell/k, t_0+\ell/k]\\ u_k(t) &= u_0+\int_{t_0}^{t-l/k}f(s,u_k(s))\mathrm{d}s & \mathrm{si} \quad t\in ]t_0+\ell/k, t_0+\ell] \end{alignat}$

La suite $(u k) k$ est bornée et équicontinue. Pour montrer qu'elle est bornée, il suffit de voir que le graphe de chaque $u k$ est contenu dans S si bien que la suite est bornée. Pour vérifier l'équicontinuité, on observe que si $t_1, t_2\in I$ , on a :

$||u_k(t_1)-u_k(t_2)||\le A|t_1-t_2|$

par définition du cylindre.

Comme $(u k) k$ est une partie bornée et équicontinue dans l'espace normé des fonctions continues^{[Note 1]}, on peut appliquer le théorème d'Ascoli-Arzèla pour en extraire une sous-suite uniformément convergente sur I. Notons $(u m) m$ cette sous-suite et u sa limite. Pour $t\neq t_0$ et $m$ suffisamment grand, on a :

$u_m(t) = u_0 +\int_{t_0}^{t} f(s, u_m(s))\mathrm{d}s + R_m(t)$

avec

$R_m(t) = \int_t^{t+\ell/m}f(s,u_m(s))\mathrm{d}s\quad \mathrm{si}\quad t<t_0$

$R_m(t) = -\int_{t-\ell/m}^{t}f(s,u_m(s))\mathrm{d}s \quad\mathrm{si}\quad t>t_0$

en passant à la limite, on a donc :

$\lim_{m\to\infty}\int_{t_0}^{t}f(s,u_k)\mathrm{d}s = \int_{t_0}^{t}f(s, u(s))\mathrm{d}s$

$\lim_{m\to \infty}||R_m(t)|| \le \lim_{m\to \infty} {A\ell\over m} = 0$

donc

$\lim_{m\to \infty} u_m(t) = u(t) = u_0+\int_{t_0}^{t}f(s,u(s))\mathrm{d}s$

par conséquent, u est une fonction de classe $\mathcal C^1$ solution du problème de Cauchy.

Démonstration de l'unicité de la solution

Supposons que le problème de Cauchy possède deux solutions $u (t)$ et $v (t)$ passant par $(t 0, u 0)$ . Par définition d'une solution au problème de Cauchy, on a :

$u(t) = u_0+\int_{t_0}^{t} f(s, u(s)) \mathrm{d}s$ ainsi que $v(t) = u_0+ \int_{t_0}^{t} f(s, v(s)) \mathrm{d}s$ .

En soustrayant les deux expressions et en passant à la norme, on a :

$\begin{alignat}{2} ||u(t)-v(t)|| &\le \left|\int_{t_0}^{t}||f(s,u(s))-f(s,v(s))||\mathrm{d}s\right|\\ & \le \left|\int_{t_0}^{t}\left|\left|{u(s)-v(s)\over s-t_0}\right|\right|\mathrm{d}s\right|\qquad (\dagger) \end{alignat}$

la deuxième inégalité est issue de la condition du critère de Nagumo qui est satisfaite tant que les graphes de u et de v sont dans S. Remarquons que, dans le dernier terme, l'intégrande est singulier en $s = t 0$ . Cependant, en appliquant la règle de l'Hôpital sur chaque composante du vecteur $u (s) - v (s)$ , on obtient :

$\lim_{s\to t_0}{u(s)-v(s)\over s-t_0} = f(t_0, u(t_0)) - f(t_0, v(t_0)) = 0$

où l'on a utilisé le fait que u et v sont des solutions du problème de Cauchy ; l'intégrande est donc bornée sur le domaine d'intégration.

Supposons que $u\neq v$ dans le cylindre $S$ , il existe alors $t 1 > t 0$ tel que sur $[t 0, t 1]$ , les graphes de u et de v soient dans S et la fonction $u (t) - v (t)$ ne soit pas identiquement nulle. Par continuité, il existe $t_2\in]t_0, t_1]$ tel que :

$\left|\left|{u(t_2)-v(t_2)\over t_2-t_0}\right|\right| = \max_{t\in[t_0, t_1]}\left|\left|{u(t)-v(t)\over t-t_0}\right|\right|=M$

en utilisant l'inégalité $(\dagger)$ , on a donc :

$\begin{alignat}{2} M &= \left| \left| {u(t_2)-v(t_2)\over t_2-t_0} \right| \right| \\ &\le {1\over t_2-t_0} \left| \int_{t_0}^{t_2}\left| \left| {u(s)-v(s)\over s-t_0}\right| \right| \mathrm{d}s \right|\\ &< M \end{alignat}$

la dernière inégalité se déduit du fait que l'intégrande est nulle en $t 0$ et donc strictement inférieure à $M$ dans un voisinage de $t 0$ . L'intégrale est donc strictement inférieure à $M (t 2 - t 0)$ d'où le résultat.

On aboutit donc à une contradiction ce qui achève la démonstration.

Exemple

Soit le champ de vecteurs $f:\mathbb R\times \mathbb R \mapsto \mathbb R$ défini par

$f(t,u) = \sqrt{t^2+|u|}$

et soit le problème de Cauchy

$u' = f(t,u), \quad u(0)=0$

le champ de vecteur n'est pas Lipschitzien en u au voisinage de l'origine, en effet, on observe que $f(0,u) = \sqrt{|u|}$ n'est pas Lipschitzien à l'origine puisque

$\sup_{u\neq v} {\left|\sqrt{|u|}-\sqrt{|v|}\right|\over|u-v|}\ge \sup_{u\neq 0}{\sqrt{|u|}\over |u|}=+\infty$

Cependant, pour tout $t\neq 0$ , nous déduisons du théorème des accroissements finis qu'il existe c entre $t 2 + | u |$ et $t 2 + | v |$ tel que

$\sqrt{t^2+|u|}-\sqrt{t^2+|v|} = {1\over 2\sqrt{c}}(|u|-|v|)$

par conséquent, f satisfait le critère de Nagumo dans tout cylindre centré à l'origine puisque

$\left|\sqrt{t^2+|u|}-\sqrt{t^2+|v|}\right| \le {1\over 2|t|}|u-v|$

pour tout $u, v\in \mathbb R$ et pour tout $t\neq 0$ . On conclut donc que le problème de Cauchy possède une et une seule solution.

Notes

↑ C'est-à-dire l'espace métrique $(C(I, \mathbb R^n), ||\cdot||_{\infty}$ des fonctions continues de $I$ dans $\mathbb R^n$ muni de la norme infinie soit :

$||f||_{\infty} = \sup_{t\in I}||f(t)||$

Références

Denis BONHEURE, Equations Différentielles Ordinaires, notes de cours de l'Université Catholique de Louvain.

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Catégorie :

Équation différentielle

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Critère de Nagumo de Wikipédia en français (auteurs)

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