Convergence linéaire

Convergence linéaire

Vitesse de convergence

En analyse numérique, la vitesse de convergence d'une suite représente la vitesse à laquelle les termes de la suite se rapprochent de sa limite. Bien que cet ordre de grandeur de vitesse de convergence ne fournisse pas d'information sur toute partie finie de l'ensemble des termes de la suite, ce concept a une grande importance pratique lorsque nous travaillons avec une suite d'approximations successives obtenue à partir d'une méthode itérative, car en général peu d'itérations sont nécessaires pour donner une valeur approchée intéressante lorsque la vitesse de convergence est grande.

Définition de la vitesse de convergence

Supposons que la suite (xk) converge vers le nombre ξ.

On dit que cette suite converge linéairement vers ξ, s'il existe μ, 0 < μ < 1, tel que

\lim_k \frac{|x_{k+1}-\xi|}{|x_k-\xi|} = \mu \quad\quad (1)

Le nombre μ est appelé vitesse de convergence.

Si (1) est vérifiée pour μ = 0, alors la convergence de la suite est dite super-linéaire. On dit aussi que la suite converge super-linéairement. Au contraire, on dit que la vitesse de convergence de la suite est sous-linéaire lorsque (1) n'est vérifiée pour aucun μ < 1.

La définition suivante sert à distinguer les différentes vitesses de convergence super-linéaires.

On dit que la suite de limite ξ est convergente d'ordre q pour q > 1 s'il existe μ > 0 tel que

\lim_k \frac{|x_{k+1}-\xi|}{|x_k-\xi|^q} = \mu \quad\quad (2)

En particulier :

  • la convergence d'ordre 2 est dite quadratique,
  • la convergence d'ordre 3 est dite cubique,
  • la convergence d'ordre 4 est dite quartique.

Commentaires

Dans la pratique, on espère rarement obtenir une convergence plus que quadratique, qui est déjà très satisfaisante. Une telle vitesse de convergence correspond à un doublement du nombre de chiffres précis à chaque étape, et donc typiquement une approximation de la limite à 30 décimales correctes après seulement 5 pas, si la valeur initiale est convenablement choisie. Un exemple célèbre de méthode qui converge quadratiquement est celui de la méthode de Newton.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Vitesse de convergence ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Convergence linéaire de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Convergence de variables aléatoires — Dans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités …   Wikipédia en Français

  • Convergence faible — Topologie faible En mathématiques, la topologie faible d un espace vectoriel topologique E est une topologie définie sur E au moyen de son dual topologique E . On définit également sur E une topologie dite faible * au moyen de E. Sommaire 1… …   Wikipédia en Français

  • Contraction et convergence — (C C) est un système de politique climatique globale fondé sur la science, proposé aux Nations unies depuis 1990 par le Global Commons Institute[1] (GCI). C C est une proposition de cadre global pour la réduction des émissions de gaz à effet de… …   Wikipédia en Français

  • Vitesse de convergence des suites — En analyse numérique, qui est une branche des mathématiques, on peut classer les suites convergentes en fonction de leur vitesse de convergence vers leur point limite. C est une manière d apprécier l efficacité des algorithmes qui les génèrent.… …   Wikipédia en Français

  • Complémentarité linéaire — En mathématiques, et plus spécialement en recherche opérationnelle et en optimisation, un problème de complémentarité linéaire est défini par la donnée d une matrice et d un vecteur et consiste à trouver un vecteur tel que ses composantes et… …   Wikipédia en Français

  • Vitesse de convergence — En analyse numérique, la vitesse de convergence d une suite représente la vitesse à laquelle les termes de la suite se rapprochent de sa limite. Bien que cet ordre de grandeur de vitesse de convergence ne fournisse pas d information sur toute… …   Wikipédia en Français

  • Régression linéaire — Pour les articles homonymes, voir Régression. En statistiques, la régression linéaire désigne une approche pour modéliser la relation entre une variable aléatoire y et un vecteur de variables aléatoires x. De manière générale, le modèle linéaire… …   Wikipédia en Français

  • Base (algèbre linéaire) — Pour les articles homonymes, voir Base. En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, une base d un espace vectoriel est une famille de vecteurs de cet espace telle que chaque vecteur de l espace puisse être exprimé de manière… …   Wikipédia en Français

  • Équation différentielle linéaire — Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles …   Wikipédia en Français

  • Application linéaire canoniquement associée à une matrice — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”