Constante de Madelung

Constante de Madelung
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La constante de Madelung intervient dans l'étude des cristaux ioniques. Elle permet de quantifier le potentiel électrostatique créé en un des ions du cristal par l'ensemble des autres ions. Elle est sans unité.

Le calcul de ce potentiel somme le potentiel créé par les premiers voisins d'un ion quelconque (potentiel attractif), celui créé par ses seconds voisins (potentiel répulsif puis qu'il s'agit alors d'ions de même signe), celui créé par ses troisième voisins, etc. Ce calcul met en jeu une série (infinie) de termes alternativement positifs et négatifs de laquelle la composante géométrique peut être mise en facteur. Cette composante est caractéristique de la géométrie de la maille et s'appelle constante de Madelung.

Elle doit son nom au physicien allemand Erwin Madelung (1881 - 1972).

La série n'est pas absolument convergente et converge lentement.

Calcul théorique

Si l'on étudie une simple chaine linéaire constituée d'une alternance d'ions positifs et d'ions négatifs, la constante de Madelung se calcule bien. Si on pose ϕ(0) le potentiel en 0 que l'on veut déterminer, a la distance entre les ions et q leur charge :

\phi(0) = 2\sum_{k=1}^\infty V_k = 2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k q}{4 \pi \epsilon_0 k a} = 2\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 a} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} = - 2\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 a} ln(2)

Pour calculer la somme \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} on passe par la série entière \sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{k} = -ln(x+1) que l'on évalue en 1.

Pour les cas bi- ou tri-dimensionnel, le calcul théorique est plus complexe. Il consiste en l'évaluation d'une somme de la forme \sum_{i=-\infty}^\infty\sum_{j=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^{i+j+k}}{\sqrt{i^2+j^2+k^2}}

Voir aussi


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