Constante de madelung

Constante de madelung

Constante de Madelung

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La constante de Madelung intervient dans l'étude des cristaux ioniques. Elle permet de quantifier le potentiel créé en un des nœuds du réseaux par l'ensemble des autres nœuds. Elle est sans unité.

Elle doit son nom au physicien allemand Erwin Madelung (1881 - 1972).

Calcul théorique

Si l'on étudie une simple chaine linéaire constituée d'une alternance d'ions positifs et d'ions négatifs, la constante de Madelung se calcule bien. Si on pose φ(0) le potentiel en 0 que l'on veut déterminer, a la distance entre les ions et q leur charge :

\phi(0) = 2\sum_{k=1}^\infty V_k = 2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k q}{4 \pi \epsilon_0 k a} = 2\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 a} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} = - 2\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 a} ln(2)

Pour calculer la somme \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} on passe par la serie entière \sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{k} = -ln(x+1) que l'on évalue en 1.

Pour les cas bi- ou tri-dimensionel, le calcul théorique est plus complexe. Il consiste en l'évaluation d'une somme de la forme \sum_{i=-\infty}^\infty\sum_{j=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^{i+j+k}}{\sqrt{i^2+j^2+k^2}}

Voir aussi

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