- Conjecture faible de Goldbach
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En théorie des nombres, la conjecture faible de Goldbach, aussi connue comme la conjecture impaire de Goldbach ou le problème des trois nombres premiers, affirme que :
- Tout nombre impair plus grand que 7 est somme de trois nombres premiers impairs.
ou de façon équivalente :
- Tout nombre impair plus grand que 5 est somme de trois nombres premiers.
- (Un nombre premier peut être utilisé plus d'une fois dans la même somme).
Cette conjecture est qualifiée de « faible » car la conjecture forte de Goldbach concernant les sommes de deux nombres premiers, si elle était démontrée, établirait la conjecture faible de Goldbach (si chaque nombre pair > 4 est la somme de deux nombres premiers impairs, ajouter simplement trois à chaque nombre pair > 4 produira les nombres impairs > 7).
La conjecture n'a pas encore été démontrée, mais des preuves partielles de plus en plus proches du but se sont succédé. En 1923, Hardy et Littlewood ont montré que, en supposant vraie une certaine généralisation de l'hypothèse de Riemann, la conjecture faible de Goldbach est vraie pour tous les nombres impairs suffisamment grands. En 1937, un mathématicien russe, Ivan Vinogradov, fut capable d'éliminer la dépendance à l'hypothèse de Riemann et démontra directement que tous les nombres impairs suffisamment grands peuvent être exprimés comme la somme de trois nombres premiers. Un seuil au-delà duquel un nombre est « suffisamment grand » pour vérifier la conjecture n'était pas explicitement quantifié dans l'énoncé du théorème de Vinogradov (de), mais calculable en analysant sa preuve[1]. Un seuil de 3,33.1043 000 fut démontré par Wang Yuan (en) et Chen Jingrun en 1989, puis abaissé à 2.101346 par Liu Ming-Chit et Wang Tian-Ze[2] en 2002. Si l'on pouvait montrer que tout nombre impair inférieur à ce seuil est somme de trois nombres premiers impairs, la conjecture faible de Goldbach serait démontrée. Néanmoins, l'exposant a encore besoin d'être réduit d'une bonne quantité avant qu'il soit possible de vérifier simplement chaque nombre inférieur au seuil.
En 1997, Jean-Marc Deshouillers (de), Gove Effinger, Herman te Riele (en) et Dimitri Zinoviev montrèrent[3] que l'hypothèse de Riemann généralisée implique la conjecture faible de Goldbach. Ce résultat combine une affirmation générale valable pour les nombres plus grands que 1020 avec une recherche informatique extensive pour les petits cas.
Notes et références
- Konstantin Borodzin, un élève de Vinogradov, trouva en 1939 un seuil de 314 348 907.
- (en) M. C. Liu et T. Z. Wang, On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture, Acta Arith. 105 (2002), 133-175
- (en) Deshouillers, Effinger, Te Riele et Zinoviev, « A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis », Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol 3, p. 99-104 (1997) [lire en ligne][PDF]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Goldbach's weak conjecture » (voir la liste des auteurs)
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