- Conditionnement (analyse numérique)
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Pour les articles homonymes, voir Conditionnement.En analyse numérique, une discipline des mathématiques, le conditionnement mesure la dépendance de la solution d'un problème numérique par rapport aux données du problème, ceci afin de contrôler la validité d'une solution calculée par rapport à ces données. En effet, les données d'un problème numérique dépendent en général de mesures expérimentales et sont donc entachées d'erreurs.
Il s'agit le plus souvent d'une quantité numérique, parfois appelée nombre de conditionnement.
De façon plus générale, on peut dire que le nombre de conditionnement associé à un problème est une mesure de la difficulté de calcul numérique du problème. Un problème possédant un nombre de conditionnement bas est dit bien conditionné et un problème possédant un nombre de conditionnement élevé est dit mal conditionné.
Sommaire
Conditionnement d'un système linéaire
Le conditionnement d'une matrice inversible A relativement à une norme subordonnée, notée
est défini par la formule:
.
Pour un système linéaire "Ax = b", où les données sont la matrice A et le vecteur second membre b, le conditionnement donne une borne de l'erreur relative commise sur la solution x lorsque les données A,b sont perturbées. Il peut s'avérer que cette borne soit très grande, de sorte que l'erreur qui pourrait en découler rende la solution numérique inexploitable.
Formules de majoration de l'erreur
Dans les formules suivantes, les calculs sont supposés faits avec une précision infinie, c'est-à-dire que les systèmes perturbés sont résolus de manière exacte.
On considère deux cas, selon que c'est le second membre b ou la matrice A qui n'est pas connu précisément.
Cas où le second membre varie
Le calcul effectif de l'inversion du système Ax = b, où la matrice A est connue avec précision et où la valeur second membre b, supposé non nul, est entachée d'une erreur Δb, produira une erreur relative théorique
sur la solution x majorée par :
.
Cas où la matrice varie
Si la matrice A subit une modification de ΔA, on dispose d'une majoration de l'erreur par rapport au calcul avec la matrice exacte A donnée par:
.
Un exemple de matrice mal conditionnée
Soit la matrice
,
et le vecteur
.
La résolution du système Ax = b donne
.
Si on substitue au second membre b le second membre perturbé
,
la solution x' correspondante sera
Les erreurs relatives de b et x sont respectivement de 0.004 et 3.4108 ce qui représente une multiplication par environ 860 de l'erreur relative. Ce nombre est du même ordre que le conditionnement de la matrice A qui est de 1425.
Voir aussi
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