ARMA

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En statistiques, les modèles ARMA (modèles autorégressifs et moyenne mobile), ou aussi modèle de Box-Jenkins, sont les principaux modèles de séries temporelles.

Étant donné une série temporelle X_t, le modèle ARMA est un outil pour comprendre et prédire, éventuellement, les valeurs futures de cette série. Le modèle est composé de deux parties : une part autorégressive (AR) et une part moyenne-mobile (MA). Le modèle est généralement noté ARMA(p,q), où p est l'ordre de la partie AR et q l'ordre de la partie MA.

Sommaire

1 Modèle autorégressif
- 1.1 Exemple : un processus AR(1)
- 1.2 Estimation des paramètres AR
  - 1.2.1 Obtention des équations de Yule-Walker
2 Modèle moyenne mobile
3 Modèle autorégressif et moyenne-mobile
4 Une note sur les termes d'erreur
5 Spécification en termes de l'opérateur de retard
6 Modèle d'ajustement
7 Références

Modèle autorégressif

Article détaillé : Processus autorégressif.

La notation AR(p) réfère au modèle autorégressif d'ordre p. Le modèle AR(p) se note

$X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t .\,$

où $\varphi_1, \ldots, \varphi_p$ sont les paramètres du modèle, $c$ est une constante et $ε t$ un bruit blanc. La constante est bien souvent omise dans la littérature.

Des contraintes supplémentaires sur les paramètres sont nécessaires pour garantir la stationnarité. Par exemple, pour le modèle AR(1), les processus tels que |φ₁| ≥ 1 ne sont pas stationnaires.

Exemple : un processus AR(1)

Un modèle AR(1) est donné par :

$X_t = c + \varphi X_{t-1}+\varepsilon_t,\,$

où $ε t$ est un bruit blanc, de moyenne nulle et de variance $σ 2$ . Le modèle est stationnaire en variance si $| φ | < 1$ . Si $\varphi=1$ , alors le processus exhibe une racine unitaire (en), ce qui signifie qu'il est une marche aléatoire, et n'est pas stationnaire en variance. Supposons donc $| φ | < 1$ , et en notant la moyenne $μ$ , on obtient

$\mbox{E}(X_t)=\mbox{E}(c)+\varphi\mbox{E}(X_{t-1})+\mbox{E}(\varepsilon_t)\Rightarrow \mu=c+\varphi\mu+0.$

Ainsi

$\mu=\frac{c}{1-\varphi}.$

En particulier, prendre $c = 0$ revient à avoir une moyenne nulle.

La variance vaut

$\textrm{var}(X_t)=E(X_t^2)-\mu^2=\frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}.$

La fonction d'autocovariance se donne par

$B_n=E(X_{t+n}X_t)-\mu^2=\frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}\,\,\varphi^{|n|}.$

On peut voir que la fonction d'autocovariance décroît avec un taux de $τ = - 1 / ln(φ)$ .

La densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de la fonction d'autocovariance. Dans le cas discret, cela s'écrit :

$\Phi(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\sum_{n=-\infty}^\infty B_n e^{-i\omega n} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\left(\frac{\sigma^2}{1+\varphi^2-2\varphi\cos(\omega)}\right).$

Ce développement est périodique dû à la présence du terme en cosinus au dénominateur. En supposant que le temps d'échantillonnage ( $Δ t = 1$ ) est plus petit que le decay time ( $τ$ ), alors on peut utiliser une approximation continue de $B n$ :

$B(t)\approx \frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}\,\,\varphi^{|t|}$

qui présente une forme lorentzienne pour la densité spectrale :

$\Phi(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}\,\frac{\gamma}{\pi(\gamma^2+\omega^2)}$

où $γ = 1 / τ$ est la fréquence angulaire associée à $τ$ .

Une expression alternative pour $X t$ peut être dérivée en substituant $X t - 1$ par $c + φ X t - 2 + ε t - 1$ dans l'équation définissante. En continuant cette manipulation N fois fournit

$X_t=c\sum_{k=0}^{N-1}\varphi^k+\varphi^NX_{t-N}+\sum_{k=0}^{N-1}\varphi^k\varepsilon_{t-k}.$

Pour N devenant très grand, $φ N$ s'approche de 0 et :

$X_t=\frac{c}{1-\varphi}+\sum_{k=0}^\infty\varphi^k\varepsilon_{t-k}.$

On peut voir que $X t$ est le bruit blanc convolé avec le noyau $φ k$ plus une moyenne constante. Si le bruit blanc est gaussien, alors $X t$ est aussi un processus normal. Dans les autres cas, le théorème central limite indique que $X t$ sera approximativement normal lorsque $φ$ est proche de l'unité.

Estimation des paramètres AR

Le modèle AR(p) est donné par

$X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t.\,$

Les paramètres à estimer sont $φ i$ où i = 1, …, p. Il y a une correspondance directe entre ces paramètres et la fonction de covariance (et donc d'autocorrélation) et on peut tirer les paramètres en inversant ces relations. Ce sont les équations de Yule-Walker :

$\gamma_m = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{m-k} + \sigma_\varepsilon^2\delta_m$

où m = 0, … , p, ce qui donne en tout p + 1 équations. Les coefficients $γ m$ est la fonction d'autocorrélation de X, $σ ε$ est la déviation (écart-type) du bruit blanc et δ_m le symbole de Kronecker.

La dernière partie de l'équation est non-nulle si m = 0 ; en prenant m > 0, l'équation précédente s'écrit comme un système matriciel

$\begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ \vdots \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_0 & \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & \dots \\ \gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_{-1} & \dots \\ \gamma_2 & \gamma_{1} & \gamma_{0} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varphi_{1} \\ \varphi_{2} \\ \varphi_{3} \\ \vdots \\ \end{bmatrix}$

Pour m = 0, nous avons

$\gamma_0 = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{-k} + \sigma_\varepsilon^2$

qui permet de trouver $\sigma_\varepsilon^2$ .

Les équations de Yule-Walker procurent un moyen d'estimer les paramètres du modèle AR(p), en remplaçant les covariances théoriques par des valeurs estimées. Une manière d'obtenir ces valeurs est de considérer la régression linéaire de X_t sur ses p premiers retards.

Obtention des équations de Yule-Walker

L'équation définissante du processus AR est

$X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i}+ \varepsilon_t.\,$

En multipliant les deux membres par X_{t − m} et en prenant l'espérance, on obtient

$E[X_t X_{t-m}] = E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-m}\right]+ E[\varepsilon_t X_{t-m}].$

Or, il se trouve que E[X_tX_{t − m}] = γ_m par définition de la fonction d'autocovariance. Les termes du bruit blancs sont indépendants les uns des autres et, de plus, X_{t − m} est indépendant de ε_t où m est plus grand que zéro. Pour m > 0, E[ε_tX_{t − m}] = 0. Pour m = 0,

$E[\varepsilon_t X_{t}] = E\left[\varepsilon_t \left(\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i}+ \varepsilon_t\right)\right] = \sum_{i=1}^p \varphi_i\, E[\varepsilon_t\,X_{t-i}] + E[\varepsilon_t^2] = 0 + \sigma_\varepsilon^2,$

Maintenant, on a pour m ≥ 0,

$\gamma_m = E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-m}\right] + \sigma_\varepsilon^2 \delta_m.$

Par ailleurs,

$E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-m}\right] = \sum_{i=1}^p \varphi_i\,E[X_{t} X_{t-m+i}] = \sum_{i=1}^p \varphi_i\,\gamma_{m-i},$

qui donne les équations de Yule-Walker :

$\gamma_m = \sum_{i=1}^p \varphi_i \gamma_{m-i} + \sigma_\varepsilon^2 \delta_m.$

pour m ≥ 0. Pour m < 0,

$\gamma_m = \gamma_{-m} = \sum_{i=1}^p \varphi_i \gamma_{|m|-i} + \sigma_\varepsilon^2 \delta_m.$

Modèle moyenne mobile

La notation MA(q) réfère au modèle moyenne-mobile d'ordre q :

$X_t = \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\,$

où les θ₁, …, θ_q sont les paramètres du modèle et ε_t, ε_t-1,… sont encore une fois des termes d'erreur.

Modèle autorégressif et moyenne-mobile

La notation ARMA(p, q) réfère le modèle avec p termes autoregressifs et q termes moyenne-mobile. Ce modèle contient à la fois les modèles AR(p) et MA(q) :

$X_t = \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

Une note sur les termes d'erreur

Les termes d'erreur ε_t sont généralement supposés indépendants et identiquement distribués (i.i.d.) selon une loi normale de moyenne nulle : ε_t ~ N(0,σ²) où σ² est la variance. Ces hypothèses peuvent être assouplies mais ceci changerait les propriétés du modèle, comme par exemple supposer le simple caractère i.i.d.

Spécification en termes de l'opérateur de retard

Les modèles ARMA peuvent s'écrire en termes de L, qui est l'opérateur retard. Le modèle autorégressif AR(p) s'écrit

$\varepsilon_t = \left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t = \varphi X_t\,$

où φ représente le polynôme

$\varphi = 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i.\,$

Pour le modèle moyenne mobile MA(q), on a

$X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t = \theta \varepsilon_t\,$

où θ représente le polynôme

$\theta= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i.\,$

Finalement, en combinant les deux aspects, on en tire l'écriture du modèle ARMA(p, q) :

$\left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t\,$

où plus court :

$\varphi X_t = \theta \varepsilon_t.\,$

Modèle d'ajustement

Les modèles ARMA, une fois choisi les ordres p et q, peuvent être ajustés sur des données par la méthode des moindres carrés : on recherche les paramètres qui minimisent la somme des carrés des résidus. Prendre des valeurs de p et q les plus petites est généralement vu comme une bonne pratique (principe de parcimonie). Pour un modèle AR pur, les équations de Yule-Walker permettent de réaliser l'ajustement.

Références

(en) George E. P. Box, Gwilym Jenkins (en) et Gregory C. Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and Control, third edition. Prentice-Hall, 1994.
(en) Terence C. Mills, Time Series Techniques for Economists, Cambridge University Press, 1990.
(en) Donald B. Percival et Andrew T. Walden, Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge University Press, 1993.
(en) Sudhakar M. Pandit et Shien-Ming Wu,Time Series and System Analysis with Applications. John Wiley & Sons, 1983.
(en) James D. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Autoregressive moving average model » (voir la liste des auteurs)

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