Cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé, le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est centré sur l'origine du repère.

Fonctions trigonométriques sur le cercle

Illustration du cercle trigonométrique unitaire, la variable t est l'angle de mesure.

Soit (\mathrm{O}; \vec{\imath};\vec{\jmath}) un repère orthonormé du plan euclidien.

Soit M un point du cercle trigonométrique de coordonnées (x, y), et \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{OM}} son vecteur associé. Si t, un réel, est une mesure de l'angle \left(\vec{\imath},\vec{u}\right) alors

\begin{cases}x = \cos(t) \\y = \sin(t)\end{cases}

Et l'équation cartésienne du cercle donne immédiatement une identité trigonométrique connue :

\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!

Le cercle trigonométrique peut aussi donner un moyen intuitif de réaliser que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques, vérifiant les relations:

\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \cos(t) = \cos(2k\pi+t)
\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \sin(t) = \sin(2k\pi+t).

Ces égalités s'interprètent par le fait que le point (x, y) reste le même après avoir ajouté ou retranché un multiple entier de 2π et ainsi effectué plusieurs tours complets du cercle. Lorsqu'elles sont définies à partir d'un triangle rectangle, les valeurs des fonctions sinus, cosinus et d'autres fonctions trigonométriques n'ont de sens que pour des angles compris entre 0 et π/2, mais dans le cercle trigonométrique leurs valeurs prennent un sens en n'importe quel réel.

Toutes les fonctions trigonométriques de l'angle θ peuvent être construites géométriquement dans un cercle unitaire centré sur O.

Le rapporteur trigonométrique est un instrument de mesure matérialisant le cercle trigonométrique et fournissant une correspondance degrés-radians.

Le cercle trigonométrique et le repérage polaire

Le cercle trigonométrique est un cas particulier simple de la représentation en coordonnées polaires d'un point M du plan. Au couple de composantes cartésiennes (x,y), on substitue un couple (r,θ), où r est la distance, positive, de M à l'origine, et θ un angle congru à l'angle orienté (\vec{i},\overrightarrow{OM})\mod 2\pi. Cette approche permet alors de définir le cercle trigonométrique comme le lieu des points vérifiant en coordonnées polaires r=1.


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