Cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé, le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est centré sur l'origine du repère.

Fonctions trigonométriques sur le cercle

Illustration du cercle trigonométrique unitaire, la variable t est l'angle de mesure.

Soit (\mathrm{O}; \vec{\imath};\vec{\jmath}) un repère orthonormé du plan euclidien.

Soit M un point du cercle trigonométrique de coordonnées (x, y), et \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{OM}} son vecteur associé. Si t, un réel, est une mesure de l'angle \left(\vec{\imath},\vec{u}\right) alors

\begin{cases}x = \cos(t) \\y = \sin(t)\end{cases}

Et l'équation cartésienne du cercle donne immédiatement une identité trigonométrique connue :

 \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!

Le cercle trigonométrique peut aussi donner un moyen intuitif de réaliser que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques, vérifiant les relations:

\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \cos(t) = \cos(2k\pi+t)
\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \sin(t) = \sin(2k\pi+t).

Ces égalités s'interprètent par le fait que le point (x, y) reste le même après avoir ajouté ou retranché un multiple entier de 2π et ainsi effectué plusieurs tours complets du cercle. Lorsqu'elles sont définies à partir d'un triangle rectangle, les valeurs des fonctions sinus, cosinus et d'autres fonctions trigonométriques n'ont de sens que pour des angles compris entre 0 et π/2, mais dans le cercle trigonométrique leurs valeurs prennent un sens en n'importe quel réel.

Toutes les fonctions trigonométriques de l'angle θ peuvent être construites géométriquement dans un cercle unitaire centré sur O.

Le rapporteur trigonométrique est un instrument de mesure matérialisant le cercle trigonométrique et fournissant une correspondance degrés-radians.

Le cercle trigonométrique et le repérage polaire

Le cercle trigonométrique est un cas particulier simple de la représentation en coordonnées polaires d'un point M du plan. Au couple de composantes cartésiennes (x,y), on substitue un couple (r,θ), où r est la distance, positive, de M à l'origine, et θ un angle congru à l'angle orienté (\vec{i},\overrightarrow{OM})\mod 2\pi. Cette approche permet alors de définir le cercle trigonométrique comme le lieu des points vérifiant en coordonnées polaires r=1.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cercle trigonométrique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Cercle Trigonométrique — Dans le plan euclidien muni d un repère orthonormé, le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est centré sur l origine du repère. Fonctions trigonométriques sur le cercle …   Wikipédia en Français

  • Cercle trigonometrique — Cercle trigonométrique Dans le plan euclidien muni d un repère orthonormé, le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est centré sur l origine du repère. Fonctions trigonométriques sur le cercle …   Wikipédia en Français

  • Cercle trigonométrique — ● Cercle trigonométrique cercle de centre O de rayon 1 du plan affine rapporté à un repère d origine O …   Encyclopédie Universelle

  • Cercle Unité — Cercle trigonométrique Dans le plan euclidien muni d un repère orthonormé, le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est centré sur l origine du repère. Fonctions trigonométriques sur le cercle …   Wikipédia en Français

  • trigonométrique — [ trigɔnɔmetrik ] adj. • 1718; de trigonométrie ♦ Sc. Qui concerne la trigonométrie; qui est utilisé en trigonométrie. Lignes trigonométriques : les fonctions circulaires définies par leur projection sur un axe. Calculs, tables trigonométriques.… …   Encyclopédie Universelle

  • cercle — [ sɛrkl ] n. m. • 1160 « objet circulaire »; lat. circulus, de circus « cercle » I ♦ 1 ♦ Courbe plane fermée dont tous les points sont à égale distance R (⇒ 1. rayon) d un centre. Circonférence d un cercle, égale à 2 π R. Diamètre d un cercle :… …   Encyclopédie Universelle

  • Cercle — Pour les articles homonymes, voir cercle (homonymie). Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui ci étant infiniment… …   Wikipédia en Français

  • Cercle unité — Le cercle unité est une expression courante pour désigner l ensemble des nombres complexes de module 1. Si le module est vu comme une norme euclidienne, le cercle est une courbe de longueur 2π, et est le bord d un disque d aire π. Le cercle unité …   Wikipédia en Français

  • Trigonométrique — Trigonométrie Planche sur la Trigonométrie, 1728 Cyclopaedia La trigonométrie (du grec ancien τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et μέτρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des relations… …   Wikipédia en Français

  • Arc de cercle — Cercle Pour les articles homonymes, voir cercle (homonymie). Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui ci étant… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”