Centrifuge

Force centrifuge

La force centrifuge est un cas particulier de force fictive qui apparaît en physique dans le contexte de l'étude du mouvement des objets dans des référentiels non inertiels. Elle est due aux mouvements de rotation de ces référentiels et se traduit par une force ayant tendance à éloigner les corps du centre de rotation. C'est, par exemple, la force ressentie par un voyageur dans un véhicule qui effectue un virage : le voyageur a la sensation d'être déporté vers l'extérieur de la courbe.

Sommaire

1 Description
- 1.1 Forces fictives
- 1.2 Cas particulier de la force centrifuge
2 Démonstration de l'expression de la force centrifuge
3 Exemples
4 Notes
5 Idées fausses
6 Voir aussi

Description

La force centrifuge $\vec{F_c}$ apparaît lorsque le référentiel que l'on utilise est en rotation par rapport à un référentiel inertiel (galiléen). Elle s'exprime en newtons (N) comme toutes les forces. Elle est directement proportionnelle à la vitesse de rotation ω.

Cela intervient notamment dans le cas où le référentiel est lié à un véhicule qui suit une trajectoire courbe (par exemple voiture ou train prenant un virage). Dans ce cas-là, la vitesse de rotation ω est d'autant plus grande que la vitesse linéaire v est grande et que le virage est serré ; ainsi, plus le virage est serré et plus le véhicule va vite, plus la force centrifuge est importante.

La force centrifuge s'applique au centre de gravité de l'objet considéré et sa direction passe par le centre de rotation du référentiel considéré par rapport au référentiel inertiel ; elle s'éloigne du centre de rotation. Dans le cas d'un référentiel lié à un véhicule en mouvement, la force centrifuge est dirigée selon un rayon de courbure, vers l'extérieur de la courbe ; cela signifie qu'elle a tendance à « sortir » l'objet considéré de sa trajectoire courbe du référentiel considéré.

Si l'on se place dans le référentiel inertiel, il n'y a pas de force centrifuge, on voit simplement l'effet d'inertie : l'objet a tendance à aller en ligne droite alors que le référentiel tourne.

Forces fictives

En mécanique newtonienne, l'équation du mouvement

$\vec{F} = m \cdot \vec{a}$

ne s'applique que dans un référentiel inertiel. Il est parfois utile ou plus simple de traiter un problème dans un référentiel qui est non inertiel.

Quand on fait ce choix, on peut faire abstraction du caractère non inertiel du référentiel à condition de rajouter des forces supplémentaires dans le problème. On utilise alors cette équation mais en incluant dans le terme de force des forces supplémentaires qu'on appelle en conséquence des forces fictives.

Les effets de ces forces fictives sont parfaitement perceptibles depuis le référentiel non inertiel dans le sens où elles sont rajoutées justement pour que la perception qu'un observateur a du mouvement des objets depuis ce référentiel soit cohérente avec la loi de Newton. Néanmoins, il faut les distinguer des autres forces fondamentales qui sont elles indépendantes du référentiel.

Cas particulier de la force centrifuge

La force centrifuge est un cas particulier de force d'inertie d'entraînement, qui apparaît dans des référentiels en rotation uniforme par rapport à un référentiel galiléen^[1]. On soulignera que l'objet auquel est attaché le référentiel subit une accélération « centripète ».

Article connexe : Composition des mouvements.

Si on étudie le mouvement d'un objet dans un référentiel tournant, on peut dès lors utiliser l'équation

$\vec{F} = m \cdot \vec{a}$

à condition de rajouter, notamment, une force centrifuge comme agissant sur l'objet.

Si, de plus, depuis le référentiel tournant, l'objet est perçu comme à l'équilibre ( $\vec{a} = \vec{0}$ ), alors la force centrifuge est la seule force fictive qu'il est nécessaire de rajouter. C'est par exemple le cas pour des référentiels attachés à des objets en rotation étant donné que si le référentiel est attaché à l'objet, l'objet y est perçu en équilibre, puisqu'il n'y est pas perçu en mouvement. Dans le cas contraire, il convient de rajouter une autre force fictive, la force de Coriolis.

L'expression de la force centrifuge à rajouter est :

$\| \vec{F} \| = m \cdot \omega^2 \cdot R$

où

m est la masse de l'objet étudié ;
ω est la vitesse de rotation du référentiel tournant par rapport au référentiel inertiel ;
R est la distance du centre de rotation au centre de gravité de l'objet ;

toutes mesurées depuis un seul et même référentiel non-inertiel. Dans le cas d'un véhicule roulant à une vitesse v, on a :

$\| \vec{F} \| = \frac{m \cdot v^2}{R}$

et R est alors le rayon de courbure de la trajectoire du référentiel.

Démonstration de l'expression de la force centrifuge

Paramètres

Considérons un point matériel P de masse M tournant autour d’un axe supposé fixe dans un référentiel galiléen G. Son mouvement circulaire se fait à vitesse constante ω.

Comme il s’agit d’un point il ne sera pas nécessaire de chercher l’influence des moments de force sur l’éventuelle rotation propre de ce point.

L’étude d’un tel mouvement est mathématiquement simplifiée, quand on exprime l’ensemble des vecteurs (positions, vitesses, accélérations et forces) dans un repère tournant avec le point (ce qui ne veut pas dire qu’on se situe dans ce référentiel). Le repère ainsi choisi est tel que :

$\vec{OP}= R.\vec{x}$
(O, $\vec{z}$ ) est l’axe de rotation.

Dans ces conditions rappelons que : $\frac{d\vec{x}}{dt}= \omega\vec{y}$ ; $\frac{d\vec{y}}{dt}= - \omega.\vec{x}$ et $\frac{d\vec{z}}{dt}= \vec{0}$

Puisque la loi de mouvement nous est donnée (position de P dans le référentiel G) il est possible de calculer, par dérivées successives, la vitesse puis l’accélération du point pour chaque position :

On obtient alors : $\vec{V}(P/G)=R\omega\vec{y}$ et $\vec{A}(P/G)=-R\omega^2\vec{x}$

Ce qui peut également s’écrire: $\vec{A}(P/G)=-{\left|\vec{V}(P/G)\right|^2\over R}\vec{x}$

2^e loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique)

Le principe fondamental de la dynamique (« loi de Newton ») nous donne, pour tout corps en mouvement dans un référentiel galiléen, une relation entre l’accélération et les forces extérieures subies : $\vec{F}_{ext\to P}= M\vec{A}(P/G)$

Soit après projection sur l’axe $\displaystyle (O,\vec{x})$ :
(1) $\displaystyle Fx_{ext\to P} = - M R \omega^2$

L’étude de chaque situation permet alors de quantifier le terme $\displaystyle Fx_{ext\to P}$ pour qu’un tel mouvement soit possible. Ce terme est négatif sur $\vec{x}$ ; il s’agit de la force centripète sans laquelle le mouvement ne serait pas : trop forte le virage se referme ; trop faible il s’ouvre ; nulle la masse part en ligne droite. Cette force réelle est l'action d'un élément extérieur sur l'objet isolé tournant. Cette force admet donc une réaction qui, elle, peut être qualifiée de centrifuge puisque dirigée vers l'extérieur: elle illustre le fait, qu'en réalité, sous l'effet d'inertie, l'objet tournant tend à partir tout droit en s'opposant la prise de virage imposé.

Remarque : $\displaystyle Fx_{ext\to P}$ regroupe l'ensemble des efforts extérieurs sans en donner le détail. En outre, cette étude est indépendante de la direction de la gravitation. Si le poids intervient dans l'expression $\displaystyle Fx_{ext\to P}$ (cas d'un axe horizontal par exemple) cela signifie qu'il y a au moins une autre force qui entre en jeu pour assurer l'équilibre (par exemple la tension alors variable du fil qui tiendrait P).

Force centrifuge

A présent modifions l’équation en plaçant tous les termes à gauche du signe égalité, on obtient :

(1) $F x_{ext \to P} + M R \omega^2 = 0$

Petit rappel : dans un référentiel galiléen, il y a équilibre d’un système (c'est-à-dire absence de mouvement), si la somme vectorielle des forces extérieures qui s’appliquent à lui est nulle. Les 3 conditions (référentiel, équilibre, somme nulle) sont indissociables.

Revenons à notre équation : le deuxième terme (nul) s’apparente à la condition somme des forces nulle. Traduit-elle un équilibre ? oui, celui de P dans le repère tournant (O,x,y,z). Dans ce cas l’expression $MR\omega^2\vec{x}$ doit être alors considérée comme une force extérieure ; elle en a déjà la dimension. Cette quantité est appelée « force centrifuge » parce que son signe la dirige vers l’extérieur, et qu’elle contribue à l’annulation des forces dans l'équation.

Ainsi on rétablit de manière artificielle le triplet (référentiel, équilibre, équation), qui ne doit en aucun cas être affiché comme une manifestation du principe de la dynamique puisqu’une au moins une des 3 conditions n’est pas respectée. C'est pourquoi la force centrifuge est qualifiée de force fictive.

Exemples

Il existe des cas où l'effet centrifuge peut être recherché, par exemple lors de l'essorage du linge dans un tambour de machine ; Inévitable pour les systèmes en rotation, il peut constituer un désagrément, pour les passagers d'un véhicule négociant un changement de direction, on a alors recours à des artifices pour annuler, ou plutôt compenser cet effet : Combinaison anti-G des pilotes d'avion de chasse, système pendulaire de certains trains, virages relevés des routes.

Régulateurs à effet centrifuge (sur anciennes machines à vapeur)

Article détaillé : Régulateur à boules.

Le schéma donné reproduit le principe du régulateur de James Watt. Entraîné, via la courroie, par la machine, le rotor voit ses masselottes s'écarter. Une tringlerie commande alors une vanne. L'action sur la vanne a un effet inverse sur la puissance fournie à la machine: c'est le principe de l'asservissement. Trop vite on ferme la vapeur, trop lent on ouvre, le système finissant par trouver le juste équilibre, et par conséquent un régime régulé.

Exemple de régulateur

Principe d'un régulateur à effet centrifuge

Train pendulaire

Intérêt du train pendulaire

Les voyages en train sont souvent longs. Il est donc appréciable de pouvoir circuler dans les voitures pour se dégourdir les jambes. Les lignes anciennes sont parfois sinueuses, et les déplacements dans les allées sont alors difficiles à négocier. L'idée du train pendulaire exploite l'effet centrifuge pour incliner les voitures, de telle sorte que la force centrifuge s'ajoute au poids pour donner un poids apparent exactement perpendiculaire au plancher. De ce fait les passagers ne ressentent plus les efforts de cisaillement le long du corps qui tendent à faire perdre l'équilibre.

Dans certains cas cela permet d'augmenter la vitesse mais l'effet est alors reporté sur les voies qui doivent retenir les trains. Là encore on a recours aux virages relevés pour reprendre avec une meilleure incidence la force centripète appliquée aux essieux. Ce qui impose un passage en courbe à une vitesse bien particulière: trop faible, le train penche vers l'intérieur, trop forte on est attiré vers l'extérieur.

La relation pour calculer l'angle auquel les rails doivent être inclinées est: $\tan\alpha={F_c \over R.g}$

Poids

La Terre ne constitue pas un référentiel strictement inertiel. Par rapport au référentiel géocentrique, la Terre est animée d'un mouvement de rotation (qui produit par ailleurs l'alternance jour/nuit). Les corps sur Terre sont donc soumis à la force centrifuge ; c'est pour cette raison que les pas de tir des fusées sont situés de préférence à proximité de l'équateur, car c'est là que l'effet est maximal (effet de « fronde ») ; c'est le cas du Centre spatial de Kourou (env. 5 ° de latitude Nord) et de Cap Kennedy (env. 28 ° de latitude Nord).

Cette force centrifuge fait partie du poids, celui-ci ne se limite donc pas à l'attraction terrestre.

Article détaillé : Poids.

Satellite géostationnaire

Les satellites géostationnaires comme le satellite Météosat sont des satellites qui suivent le mouvement de la Terre. c'est-à-dire des satellites qui paraissent immobiles dans le ciel lorsqu'on les observe depuis le sol.

Cycle dans les courbes

Avion effectuant un virage dans le ciel

Pour bien comprendre, il faut imaginer que l'avion vire dans un même plan ( un peu comme le dessin sur la démonstration de la Force Centrifuge au dessus ). Le calcul reste valable si l'avion exécute un virage plus "complexe".

Comme le montre la formule plus haut, l'accélération centrifuge ( et donc la Force centrifuge ) est directement liée à la vitesse linéaire de l'appareil.

$F = M * V 2 / R$ ⇔ $A = V 2 / R$ puisque $F = M * A$ d'après la formule de Newton

Considerez un Tomcat F-14 Grumman, capable de voler à 2 485 km/h, ou un Mig-29, atteignant Mach 2,3 ( 2,3 fois la vitesse du son ) et vous comprendrez qu'un pilote, aux commandes de ce type d'avion, prenne 8 ou 9 G ( 8 ou 9 fois la gravité terrestre ).

Les pilotes de chasse sont spécialement entraînés pour encaisser ces accélérations extrêmes. De plus, ils sont équipés d'une combinaison anti-G pour contrebalancer les effets qu'elles pourraient entraîner ( Voile Rouge ou Voile Noir ).

Ces deux effets néfastes sont dus à des accélérations, que le pilote perçoit comme positive ou négative ( et j'insiste sur le fait que c'est le pilote qui perçoit l'accélération alors que cette dernière n'a pas changé ( comme dans le dessin au dessus ) ). Le Voile Rouge consiste en un afflux de sang dans la tête alors que le Voile Noir est le reflux du sang vers les jambes. La combinaison anti-G est un ensemble de poches qui se gonflent pour bloquer ces phénomènes.

Vibreurs de téléphone portable

Une petite masselotte est fixée excentrée sur l'arbre d'un micro-moteur. Entraînée à grande vitesse de rotation, l'effet centrifuge provoque la réaction du palier qui fait vibrer le combiné.

Notes

↑ Un référentiel en rotation est bien non-inertiel étant donné qu'il décrit une trajectoire qui indique qu'il est soumis à une accélération. Sans cette rotation, il décrirait un mouvement rectiligne uniforme

Idées fausses

la force centrifuge est la réaction à la force centripète.
la force centrifuge obéit au principe d'action-réaction.
la force centrifuge est une force comme les autres.

Voir aussi

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Catégorie : Mécanique classique

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