Calculs de longueur

Calculs de longueur


Le but de cet article est de rassembler des 'techniques mathématiques' visant à faciliter le calcul des longueurs, que ce soit dans un plan ou dans un repère. Les formules et astuces utilisées se trouvent dans les articles Aire de surfaces usuelles et Volume de solides usuels.

Calculs sur les triangles

  • Configuration 1 : Vous savez l'aire du triangle et sa base, on vous demande de déterminer sa hauteur. Il suffit d'utiliser la formule de l'aire d'un triangle sous forme d'équation en prenant la hauteur comme l'inconnue :

\frac{ah}{2} = A

Alors ah = 2A (produit en croix)

Donc h = \frac{2A}{a}

où A est l'aire du triangle


  • Configuration 2 : Vous avez les longueurs des 2 côtés d'un triangle, on vous demande de déterminer la longueur du 3e côté
Dans le cas d'un triangle rectangle :
Il vous suffit d'utiliser le célèbre théorème de Pythagore qui s'énonce comme suit :
« Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés »
Mathématiquement, cela donne :
c² = a² + b²
donc c = \sqrt{a^2+b^2}
Si vous connaissez l'hypoténuse et un des 2 autres côté, a ou b, l'équation devient :
a = \sqrt{c^2-b^2}
ou
b = \sqrt{c^2-a^2}
Rappel : L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est le côté le plus long.
Dans le cas d'un triangle quelconque :
Pour ce faire il est nécessaire de connaitre l'amplitude de l'angle opposé au côté recherché et appliquer la formule suivante :
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\ \cos\ \gamma
  • Configuration 3 : Connaissant les 2 côtés a et b d'un triangle ainsi qu'une de ses médianes notée m, on vous demande de déterminer la longueur de la base du triangle notée c:

Pour ce faire, on utilise la formule du théorème dit des médianes :

a² + b² = 2m² + \frac{1}{2}c²

Dans notre exemple, on en déduit que :

c² = \frac{a^2+ b^2-2m^2}{2}

donc

c = \sqrt{\frac{a+b-2m}{2}}

c étant la base du triangle


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