Calcul de la date de Pâques

La date de la fête de Pâques est importante tant dans la vie religieuse que dans la vie civile. Dans la vie religieuse, parce que plusieurs fêtes ou célébrations sont fixées d’après cette date de Pâques dans le comput. Dans la vie civile, cela tient au fait que, dans de très nombreux pays, certaines des fêtes chrétiennes religieuses sont l’occasion de jours fériés ; par exemple : vendredi saint, lundi de Pâques, lundi de Pentecôte, lundi de Pentecôte en France ou jeudi de l’Ascension.

Dates contemporaines de Pâques : les dimanches 4 avril 2010, 24 avril 2011 et 8 avril 2012 du calendrier grégorien.

Date de Pâques

Cette date fait l’objet d’une définition de nature astronomique : en l’an 325, le concile de Nicée a décrété la règle suivante : Pâques est célébré le dimanche qui suit le quatorzième jour de la lune qui atteint cet âge au 21 mars ou immédiatement après. Autrement dit, c’est le premier dimanche qui suit la première pleine lune située le 21 mars (début du printemps) ou après. Avant ce concile, la fête suivait des règles variables, influencées par la date de Pessa'h.

Dans cette définition, l’expression « âge de la lune » n’est pas prise dans son sens usuel : l’âge est compté en jours entiers, à partir du jour de la nouvelle lune. De plus, c’est la lune de comput (dite aussi lune pascale) qui est utilisée, et non la nouvelle lune réelle. La date ne dépend ni des tables astronomiques, ni d’une observation directe du croissant (pratique encore en usage pour l’observation de certaines fêtes musulmanes). Ce n'est pas la date de l'équinoxe de printemps, mais bien le 21 mars, qui est utilisée comme date de référence (l'équinoxe de printemps tombe souvent un 21 mars, mais aussi le 20 mars).

Par construction, Pâques se situe au plus tôt le 22 mars. Cela se produit quand la lunaison pascale commence le 8 mars (nouvelle lune) et que le 22 mars est un dimanche (postérieur à l'équinoxe qui coïncide ce jour-là avec la pleine lune de comput).

Au contraire la date la plus tardive possible est le 25 avril. En effet, dans le comput grégorien, une lunaison (nouvelle lune) peut commencer le 7 mars. Le quatorzième jour (dernière pleine lune d’hiver) tombe alors le 20 mars et la pleine lune suivante (première pleine lune du printemps) est le 18 avril (29 jours après). Si ce 18 avril est déjà un dimanche, Pâques tombe le dimanche suivant (le 25).

Il en est de même dans le comput julien car, même s’il n’y a pas de nouvelle lune possible le 7 mars dans ce calendrier, une lunaison qui commencerait le 6 mars julien durerait alors 30 jours et non 29.

La détermination de la date de Pâques chrétienne a fait l'objet de nombreuses études. En 463, la pape Hilaire a approuvé le cycle pascal calculé par Victorin d'Aquitaine, approuvé en Gaule au concile d'Orléans de 541. En 525, c'est Denys le Petit qui a établi le cycle pascal adopté par l'église catholique.

Éléments du comput ecclésiastique

Généralités

Éléments du comput - Le comput julien utilise deux éléments, la lettre dominicale et le nombre d’or astronomique. Le comput grégorien utilise la lettre dominicale et l’épacte, mais la connaissance du nombre d’or est aussi nécessaire, contrairement à ce qui est généralement affirmé. Car le cycle solaire est un élément dont l’emploi est équivalent à celui de la lettre dominicale julienne.

L’indiction romaine n’a plus aucun rôle dans le comput actuel ; il a servi dans une ancienne chronologie chrétienne, fondée sur une division du temps en cycles successifs de quinze ans à partir de l’an 313 de l’ère chrétienne, et dans laquelle il indiquait le rang d’une année dans son cycle.

La valeur de ces éléments est donnée chaque année dans les almanachs ; aussi a-t-on cru devoir la publier dans la Connaissance des Temps et dans l’annuaire du Bureau des longitudes. En raison de cette publication, l’annuaire du Bureau des longitudes consacrait au comput un article périodique, qui se concluait naturellement par le calcul de la date de Pâques. Le texte de cet article était d’ailleurs très sensiblement la reproduction de la fin du Livre IV de la 3^e édition du Cours d’astronomie de H. Andoyer de 1923. Il s’agissait d’une tradition non justifiée : les éléments du comput n’ont aucun rôle scientifique, civil, ou même religieux. Le calcul réel de ces jours est plus compliqué que celui du calendrier perpétuel publié annuellement dans les Éphémérides astronomiques de l’annuaire du Bureau des longitudes.

Formulaire de calcul

Depuis le I^er concile de Nicée, la date de Pâques suit une règle déterminée et a donc fait l’objet de formules arithmétiques telles que celles qui sont indiquées ci-après. Les tables n’en sont pas issues, toutefois ces calculs permettent de trouver facilement les dates de Pâques et autres fêtes du comput. La démonstration de ces formules ne demande que des connaissances d’arithmétique élémentaire. Cela ne signifie pas qu’elles soient toujours simples pour autant !

Exemple de calcul pour l’année 2006 :

• Il faut au préalable calculer L selon la lettre dominicale grégorienne (on pose L = 1 pour la lettre A, c’est le cas en 2006 par exemple, jusqu’à L = 7 pour la lettre G).
• Puis il faut calculer E, l’épacte grégorienne (E vaut zéro pour 2006) :
  • Pour garder une même formule en avril, l’épacte E est corrigée ainsi :
    • si E = 24 et L = 4 (lettre D), prendre alors E = -5
    • si E = 25 et L = 3 (lettre C), prendre alors E = -4
    • sinon, si E vaut 24 ou au-delà, diminuer E de 30 ;
• Ajouter les nombres E et L et incrémenter de 1 (0 + 1 + 1 = 2 pour 2006).
• Prendre le reste dans la division par 7 (2 / 7 = 0, or 0 × 7 = 0 au lieu de 2, le reste vaut donc 2).
• Ajouter 45 et soustraire E (2 + 45 - 0 = 47).

Le résultat représente le jour de Pâques en partant de début mars (1 = le 1^er mars). En fait la plus petite valeur obtenue possible est 22 pour le 22 mars. Si le résultat dépasse 31, c’est que Pâques tombe en avril (il suffit de retrancher 31 pour avoir la date). Pour 2006, Pâques tombe donc le dimanche 16 avril (47 - 31 = 16).

Algorithme de Thomas O’Beirne

Le premier algorithme attribué à Gauss contenait quelques erreurs (en fait d'erreur, il s'était basé sur des données limitées dans le temps ; son résultat n'est donc pas garanti pour toutes les périodes). Voici en tout cas un algorithme, créé par Thomas O'Beirne, qui a le mérite d’être juste et d’inclure tous les calculs intermédiaires du comput en partant simplement de l’année.

On y reconnait évidemment des parties du calcul précédent (nombre d’or, etc.), même si le rôle des grandeurs n’est pas précisé ici. L’algorithme est donné sous sa forme simplifiée car elle est pratique (la version complète(en) est de toute façon moins intéressante, car elle donne lieu à des calculs inutiles ou simplifiables ; par exemple on pourrait obtenir l'épacte en divisant directement x par 19). Pour la période actuelle (1900 - 2099), on a, de façon rapide :

Soit M l’année du calcul (prenons 2005 pour exemple) :

• On pose n = M - 1900 (on retranche 1900 à l’année, donc n = 105 pour notre exemple) ;
• On prend a, le reste de n dans la division par 19 (105 / 19 = 5 mais 5 × 19 = 95 au lieu de 105, il reste donc 10 ; a = 10) ;
• On calcule a × 7 + 1 (ce qui donne pour l’exemple 7 × 10 + 1 = 71) ;
• On en prend b, le résultat (entier) de la division par 19 (71 / 19 = 3 donc b = 3) ;
• On calcule (11 × a) - b + 4 (soit 11 × 10 - 3 + 4 = 111) ;
• On en prend c le reste dans la division par 29 (111 / 29 = 3, or 3 × 29 = 87 au lieu de 111, il reste donc 111 - 87 = 24, donc c = 24) ;
• On calcule d la partie entière de n / 4 (105 / 4 = 26) ;
• On calcule n - c + d + 31 (soit 105 - 24 + 26 + 31 = 138) ;
• On en prend e le reste dans la division par 7 (138 / 7 = 19, or 19 × 7 = 133 au lieu de 138, il reste donc 138 - 133 = 5, donc e = 5) ;
• On calcule P = 25 - c - e (dans l’exemple : P = 25 - 24 - 5 = -4) ;
• La date de Pâques tombe P jours après le 31 mars (ou avant si P est négatif). Ce qui signifie que :
  • pour P = 1, le 1^er avril, autrement dit P positif correspond directement au jour du mois d’avril ;
  • pour P = 0 le jour de Pâques est le 31 mars, et
  • pour P = –1 le 30 mars, autrement dit P négatif doit être ajouté à 31 pour obtenir le jour du mois de mars ;

  (Pour l’année 2005, on trouve P = -4, ce qui veut dire que Pâques est le dimanche 31 - 4 = 27 mars).

En refaisant ce calcul pour l’année 2006, on trouverait P = 16 et on retrouverait le résultat précédent (Pâques 2006 tombe le 16 avril).

Erreurs constatées: Avec cette Formule, partir de l'an 2100, le dimanche de pâques tombe un samedi : En effet, 2100 ne sera pas une année bissextile, ce qui décale le résultat d'une journée pour tout le 22éme siècle)

Formule beaucoup plus simple : reste = reste de la (division)

        année de 1955 à 2048

        A=reste(année/19) 
        B=reste(année/4)
        C=reste(année/7) 
        D=reste((19A+24)/30)
        E=reste((2B+4C+6D+5)/7)

           si D+E>9 Pâques=D+E-9 avril
           sinon Pâques=22+D+E mars. 
           Si >25 avril    retirer 7 jours

Algorithme de Oudin

L'avantage de celui-ci est d'être parmi ceux qui demandent le moins d'opérations. C'est donc un des plus intéressants pour le calcul généraliste (sans limite de siècle). Il est présenté sous sa forme non simplifiée donc utilisable pour toute année postérieure à 1582 (après l'apparition du calendrier grégorien). Le calcul de la date de Pâques est loin d'être une chose si facile. On prendra pour exemple le calcul dans l'année actuelle (2011).

Les divisions doivent toujours être entières (on supprime les décimales).

• G qui représente le nombre d'or diminué de 1 : Diviser l'année par 19, en prendre le reste
  ( 2011/19=105 or 105x19=1995 et il nous faut 2011, donc l'écart vaut G=16 )
• C et C_4 permettent le suivi des années bissextiles : diviser l'année par 100 puis encore par 4
  ( 2011/100=C=20
  et 20/4=C_4=5 )
• E : Diviser (8 x C + 13) par 25 sans les décimales
  ( 8x20+13=173 /25=E=6 )
• H qui dépend de l'épacte : diviser (19xG + C - C_4 - E + 15) par 30, en prendre le reste
  ( On prend le reste d'une division selon le même principe que pour G : (328)/30=10 or 10x30=300 et il nous faut (328), donc l'écart vaut H=28 )
• K : diviser H par 28
  ( 28 / 28 = K = 1 )
• P : diviser 29 par (H+1)
  ( 29 / 29 = P = 1 )
• Q : diviser (21-G) par 11
  ( 21-16=5 /11=Q=-0 )
• I représente le nombre de jours entre la pleine lune pascale et le 21 mars : ( KxPxQ - 1 ) x K + H
  ( 1x1x-0-1=-1 x1=-1 + 28= I=27 )
• B : diviser l'année par 4 et enlever les décimales, y ajouter l'année
  ( 2011/4=502 +2011 = 2513 )
• J1 : Additionner B + I + 2 + C_4 et retrancher C
  ( J1 = 2527 )
• J2 calcule le jour de la lune pascale (0=dimanche 1=lundi...6=samedi) : diviser J1 par 7 et en prendre le reste.
  ( On calcule toujours le reste d'une division selon le même principe qu'avec G et H, le résultat est J2=0 )

• R le résultat final, enfin : 28 + I - J2
  ( R= 55 )

R représente la date du mois de mars, s'il dépasse 31 on déborde sur avril (…, 30 correspond au 30 mars, 31 au 31 mars, 32 au 1^er avril, 33 au 2 avril, …). Retrancher 31 le cas échéant pour obtenir la date d'avril (Pâques 2011 tombe donc le 24 avril).

Transcription de cet algorithme en langage informatique (ici Javascript), et légères adaptations pour lundi de Pâques:

function paques(annee) //renvoi un tableau [jour, mois], mois commence à 0
{
var g = annee%19;
var c = Math.floor(annee/100);
var c_4 = Math.floor(c/4);
var h = (19*g + c - c_4 - Math.floor((8*c + 13)/25) + 15)%30;
var k = Math.floor(h/28);
var i = (k*Math.floor(29/(h+1))*Math.floor((21-g)/11) - 1)*k + h;
var jourSemaine = (Math.floor(annee/4) + annee + i + 2 + c_4 - c)%7; //jour de Pâques (0=dimanche, 1=lundi....)
var presJour = 28 + i - jourSemaine; //Jour de Pâques en jours en partant de 1 = 1er mars
var mois = presJour>31 ? 3 : 2; //mois (0 = janvier, ... 2 = mars, 3 = avril)
var jour = mois==2 ? presJour : presJour-31; //jour du mois

return new Array(jour, mois);
};

function lundiPaques(annee) //identique à Pâques pour les …
{
…
var presJour = (28 + i - jourSemaine + 1); //Lundi de Pâques en jours en partant de 1 = 1er mars
…
};

Le même algorithme retranscrit en C# :
public static DateTime Paques(int annee)

       {
           int g, c, c_4, e, h, k, p, q, i, b, j1, j2, r;
           g = annee % 19;
           c = annee / 100;
           c_4 = c / 4;
           e = (8 * c + 13) / 25;
           h = (19 * g + c - c_4 - e + 15) % 30;
           k = h / 28;
           p = 29 / (h + 1);
           q = (21 - g) / 11;
           i = (k * p * q - 1) * k + h;
           b = annee / 4 + annee;
           j1 = (b + i + 2 + c_4) - c;
           j2 = j1 % 7;
           r = 28 + i - j2;
           if (r > 31)
           {
               return new DateTime(annee, 4, r - 31);
           }
           else
           {
               return new DateTime(annee, 3, r);
           }
       }

Pour obtenir le lundi de pâques, il suffit d'appeler par exemple Paques(2010).AddDays(1);

Pâques et Pessah'

On affirme souvent que la date des Pâques catholiques et protestantes (qui sont identiques) et la date des Pâques orthodoxes seraient retardées pour ne pas coïncider avec la Pâque juive. Il n’en est absolument rien, au contraire. Il se trouve juste qu’une différence de dates s’était parfois produite durant les premiers siècles.

En effet la coïncidence des deux fêtes était pour les philosophes païens un sujet de dérision à l’égard des deux religions qui prétendaient s’opposer et semblaient suivre la même liturgie. Les événements célébrés sont différents : Exode des Hébreux, rapporté par l'Ancien Testament, pour les juifs, et Résurrection du Christ, rapportée par le Nouveau, qui la place pendant la semaine de la Pâque juive, pour les chrétiens.

Au concile de Nicée, une controverse s’éleva : « Les uns soutenaient qu’il fallait suivre la coutume des juifs ; les autres prétendaient qu’il fallait examiner exactement le temps, et ne pas s’accorder avec un peuple si éloigné de la grâce de l’Écriture » (Eusèbe, Vie de l’empereur Constantin, III, 5).

Une troisième solution prévalut : éliminer tout risque de coïncidence avec les autres fêtes ; d’où la règle de Nicée. La Pâque juive est en effet fixée au quatorzième jour de la lune de Nisan, pendant laquelle tombe l'équinoxe de printemps. Ce mois ne coïncide pas forcément avec la Lune fictive du comput chrétien. De sorte que l’effet recherché n’est pas toujours atteint.

Ajoutons que la règle de Nicée ne fait pas partie du dogme et qu’il suffira d’un concile œcuménique pour la modifier lorsque l’intérêt en sera suffisamment ressenti ; que d’éventuelles modifications avaient été explicitement prévues dans les actes du concile de 325 ; enfin que la règle elle-même n’a pas été promulguée à l’époque par le Pape mais par l’empereur Constantin, qui ne fut d’ailleurs baptisé que sur son son lit de mort, 10 ans plus tard. De fait, une déclaration du concile de Vatican II énonce que l'Église ne s'opposerait pas au principe d'une date fixe pour Pâques.

Différents styles de calcul

Calcul de la Pâques orthodoxe

Calcul de la Pâques celtique (ou comput antique)

Voir aussi

• Pâque quartodécimaine

Liens internes

Pour calculer les dates des autres fêtes mobiles :

• Le comput
• Le calendrier liturgique catholique

Liens externes

• Script PHP : calcul de la date de Pâques
• Années classées par date de Pâques
• Comparaison de différents algorithmes (très documenté)
• Plusieurs algorithmes avec explications (et ponctuellement quelques fautes de frappe dans les formules, dommage)
• Sur le site de l’IMCCE :
  • Explications
  • Un calendrier perpétuel grégorien des dates de Pâques
  • Calcul par année
• Nicée et la date de Pâques
• Tableau de Pâques de Dionysius Exiguus

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