Branche principale (mathématiques)

Branche principale (mathématiques)

En analyse complexe, la branche principale est une détermination particulière d'une fonction analytique complexe multiforme, telle que la fonction racine n-ième ou le logarithme complexe. Cette détermination arbitraire est souvent choisie de façon à coïncider avec une fonction de la variable réelle, c'est-à-dire que la restriction de la branche principale à \mathbb{R} prend des valeurs réelles.

Sommaire

Exemples

Réciproque de l'exponentielle

Une façon de visualiser la branche principale d'une fonction est de considérer ce qui se passe avec la réciproque de la fonction exponentielle complexe.

La fonction exponentielle est une application de \mathbb{C} dans \mathbb{C} définie par :

\exp (z) = \exp (a) \times \cos (b) + i \times \exp (a) \times \sin (b), où z = a + bi, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, i^2 = -1 .

De par le caractère périodique des fonctions trigonométriques en jeu, il est clair que le logarithme complexe n'est pas, lui, une application. On peut le voir de la façon suivante :

 \Re (\log (z)) = \log (\sqrt{a^2 + b^2})

et

\Im (\log (z)) = \arctan (b/a) + 2 \pi k, où k est un entier quelconque.

Tout nombre log(z) défini ainsi sera tel que exp(log(z)) = z : dès que z n'est plus réel, c'est-à-dire dès lors que b \neq 0, il y a donc une infinité dénombrable de déterminations possibles pour le calcul de log(z). On dit pour cette raison que la fonction log est multiforme. De telles fonctions présentent un point de branchement ou point de ramification, qui est un point singulier. En ce point s'échangent les différentes déterminations. Dans le cas du logarithme complexe, z = 1 est un point de branchement.

Au cours d'une démonstration ou au cours de la résolution d'une question de physique, et parce qu'on manipule le plus souvent des arguments réels, on peut convenir de poursuivre les calculs avec une détermination particulière, arbitraire. Comme le problème de la détermination ne se pose pas tant que z est un réel positif, on définit la détermination en considérant un z réel négatif : cela revient à considérer une coupure du plan complexe le long de la partie négative de la droite réelle.

Par exemple, dans le cas du logarithme, on peut convenir que la partie imaginaire de la détermination sera comprise entre −π et π. C'est la branche principale de la fonction logarithme. On la désigne souvent avec une majuscule à l'initiale, Log(z). Ainsi, on a :

 
\begin{cases}  
 \Re{(\mbox{Log} (z))} = \log (\sqrt{a^2 + b^2}) \\
 \Im{(\mbox{Log} (z))} = \arctan (b/a)
\end{cases}
.

Réciproque de la fonction puissance

Une branche principale plus familière, restreinte aux nombres réels, est l'élévation à la puissance 1/2.

Considérons en effet la relation y = x1/2, où x est une réel positif quelconque.

Cette relation peut être satisfaite pour toute valeur de y égale à une racine carrée de x (positive ou négative). Quand y est la racine carrée positive, nous écrivons y = √x.

Dans ce cas, la racine carrée positive est une fonction qui est la branche principale de la fonction multiforme x1/2. On utilise surtout les branches principales pour la définition des fonctions trigonométriques inverses.

Bibliographie

  • Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions] chap. VIII, §8.

Voir également

Liens externes



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Branche principale (mathématiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Branche Principale (Mathématiques) — En analyse complexe, la branche principale est une détermination particulière d une fonction analytique complexe multiforme, telle que la fonction racine n ième ou le logarithme complexe. Cette détermination arbitraire est souvent choisie de… …   Wikipédia en Français

  • Branche principale (mathematiques) — Branche principale (mathématiques) En analyse complexe, la branche principale est une détermination particulière d une fonction analytique complexe multiforme, telle que la fonction racine n ième ou le logarithme complexe. Cette détermination… …   Wikipédia en Français

  • Branche Principale — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Branche principale est : une appellation utilisée en astronomie pour désigner le diagramme de Hertzsprung Russell. une notion de mathématiques  …   Wikipédia en Français

  • Branche principale — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Branche principale est : une appellation utilisée en astronomie pour désigner le diagramme de Hertzsprung Russell. une notion de mathématiques  …   Wikipédia en Français

  • branche — [ brɑ̃ʃ ] n. f. • 1080; bas lat. branca « patte (d un animal) » I ♦ 1 ♦ Ramification latérale de la tige ligneuse (d un arbre). ♢ Arbor. Ramification la plus forte. Branche mère, qui pousse directement sur le tronc. Branches fruitières. ⇒ courson …   Encyclopédie Universelle

  • branché — branche [ brɑ̃ʃ ] n. f. • 1080; bas lat. branca « patte (d un animal) » I ♦ 1 ♦ Ramification latérale de la tige ligneuse (d un arbre). ♢ Arbor. Ramification la plus forte. Branche mère, qui pousse directement sur le tronc. Branches fruitières. ⇒ …   Encyclopédie Universelle

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • ISLAM - Les mathématiques et les autres sciences — «Et vous avez en ma personne le meilleur barbier de Bagdad, un médecin expérimenté, un chimiste très profond, un astrologue qui ne se trompe point, un grammairien achevé, un parfait rhétoricien, un logicien subtil, un mathématicien accompli dans… …   Encyclopédie Universelle

  • Histoire Des Mathématiques — Article de la série Histoire des sciences Chronologie Chronologie des sciences Chronologie de l astronomie …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”