Théorème de Davenport-Cassels

Théorème de Davenport-Cassels

Le théorème de Davenport-Cassels (en) est un résultat sur les représentations rationnelles ou entières des formes quadratiques à coefficients entiers. Il est plus connu pour son corollaire en arithmétique concernant les entiers s'écrivant comme somme de deux carrés ou trois carrés.

Sommaire

Énoncé général

Théorème de Davenport-Cassels — Soit \scriptstyle q une forme quadratique à coefficients entiers de dimension \scriptstyle n telle que \scriptstyle q(x_1, \cdots, x_n)=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j avec pour tout \scriptstyle i et \scriptstyle j, \scriptstyle a_{ij}=a_{ji}. Si, pour tout n-uplet \scriptstyle x de rationnels non tous entiers, il existe un n-uplet \scriptstyle a d'entiers tel que \scriptstyle 0<|q(x-a)|<1 alors tout entier \scriptstyle N possédant un représentant rationnel possède aussi un représentant entier. C'est-à-dire : pour tout entier \scriptstyle N, s'il existe un n-uplet \scriptstyle x de rationnels tel que \scriptstyle q(x)=N, il existe aussi un n-uplet \scriptstyle a d'entiers tels que \scriptstyle q(a)=N.

La démonstration peut se faire par descente infinie sur la taille du dénominateur commun des \scriptstyle x_i[1].

Une variante plus répandue de cet énoncé se limite au cas où la forme quadratique est définie positive. Dans ce cas, le fait qu'elle soit définie permet de reformuler l'hypothèse plus simplement en : « Si, pour tout n-uplet \scriptstyle x de rationnels, il existe un n-uplet \scriptstyle a d'entiers tel que \scriptstyle |q(x-a)|<1 alors ... » [2].

Somme de deux ou trois carrés

Le théorème de Davenport-Cassels a pour conséquence le théorème suivant :

Théorème — Si un entier naturel est somme de deux (respectivement trois) carrés de nombres rationnels, il est aussi somme de deux (respectivement trois) carrés d'entiers.

D'après André Weil[3], Fermat, dans une lettre de Mersenne du 15 juillet 1636, affirme avoir prouvé ce résultat mais dans une autre lettre du 2 septembre de la même année, il reconnaît que sa preuve doit encore être travaillée. En 1912, une preuve de ce théorème est donnée par L. Aubry[4]. Le théorème de Davenport-Cassels, postérieur à cette publication permet aussi d'en donner une preuve.

En effet, le carré de la distance usuelle sur \scriptstyle \Q^2 ou \scriptstyle \Q^3 est une forme quadratique vérifiant les conditions du théorème de Davenport-Cassels. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que, pour tout rationnel \scriptstyle x_i, il existe un entier \scriptstyle a_i tel que \scriptstyle |x_i-a_i|\le 1/2. Ainsi, pour tout couple (resp. triplet) \scriptstyle x de rationnels, il existe un couple (resp. triplet) \scriptstyle a d'entiers tel que \scriptstyle d^2(x,a) = \sum_{i=1}^{2}|x_i-a_i|^2 \le \frac 14+\frac 14 < 1 (resp. \scriptstyle d^2(x,a) = \sum_{i=1}^{3}|x_i-a_i|^2 \le \frac 14+\frac 14 +\frac 14 < 1) .

Le théorème de Davenport-Cassels permet alors d'affirmer que, pour tout entier \scriptstyle N, s'il existe un couple \scriptstyle (x_1,x_2) (respectivement un triplet \scriptstyle (x_1,x_2,x_3)) de rationnels tel que \scriptstyle x_1^2+x_2^2=N (respectivement \scriptstyle x_1^2+x_2^2+ x_3^2=N), il existe aussi un un couple \scriptstyle (a_1,a_2) (respectivement un triplet \scriptstyle (a_1,a_2,a_3)) d'entiers tel que \scriptstyle a_1^2+a_2^2=N (respectivement \scriptstyle a_1^2+a_2^2+ a_3^2=N).

Notes et références

  1. ↑ Pour une démonstration voir (en) André Weil, Number Theory: An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], ou bien (en) Pete L. Clark Representations of integers by quadratic forms
  2. ↑ Pour une démonstration de cette variante voir Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions], ou bien Eva Bayer-Fluckiger (de), Théorie algébrique des formes quadratiques
  3. ↑ (en) André Weil, Number Theory: An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], p 292
  4. ↑ (en) Book review, Paulo Ribenboim, Number theory, an approach through history from Hammurapi to Legendre, by André Weil

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Davenport-Cassels de Wikipédia en français (auteurs)

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