Théorème d'Erdős-Kac

Théorème d'Erdős-Kac

Le théorème d'Erdős-Kac en théorie des nombres est un exemple d'étude de la convergence faible de fréquences des fonctions additives, et est considéré comme fondamental en théorie probabiliste des nombres (en). Il est relatif à la fonction ω(n) qui désigne le nombre de facteurs premiers de n distincts (comptés sans leurs multiplicités). Il a été obtenu par Paul Erdős et Mark Kac en 1939[1] . En 1958, Alfréd Rényi et Pál Turán ont donné une version explicite du terme d'erreur.

L'énoncé est le suivant[2]. Pour tout réel λ, on a :

\lim_{x\to+\infty}\frac1x\left|\left\{n\leq x~|~\omega(n)\le\ln\ln x+\lambda\sqrt{\ln\ln x}\right\}\right|=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{- \infty}^\lambda e^{-t^2/2}~\mathrm dt.

Sommaire

Note et référence

  1. ↑ (en) Paul Erdős et Mark Kac, « The Gaussian law of errors in the theory of additive functions », dans Proc. N. A. S., vol. 25, 1939, p. 206-207 [texte intégral] 
  2. ↑ (en) Paul Erdős et Mark Kac, « On the Gaussian law of errors in the theory of additive number theoretic functions », dans Amer. J. Math., vol. 62, 1940, p. 738–742 [texte intégral]  (MR2, 42c ; Zentralblatt 24, 102).

Voir aussi

Article connexe

Théorème de Hardy-Ramanujan (en)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Erdős–Kac Theorem », MathWorld


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