- Théorème d'Erdős-Suranyi
-
Tout entier n s'écrit sous la forme :
où 
.Les décompositions des premiers entiers sont :
0 = 02
1 = 12
2 = − 12 − 22 − 32 + 42
3 = − 12 + 22 − 32 − 42 + 52
Démonstration
On démontre aisément que m2 − (m + 1)2 − (m + 2)2 + (m + 3)2 est indépendant de m et vaut 4. Il suffit alors de faire la division euclidienne de n par 4. On peut alors écrire n sous la forme 4q + r avec
. Les valeurs prises par r sont 0, 1, 2 et 3 respectivement, et leurs décompositions ont été données en début de l'article. On ajoute à la décomposition de r, q fois une décomposition du type m2 − (m + 1)2 − (m + 2)2 + (m + 3)2.Exemple : pour n = 9, q = 2 et r = 1
mais on a aussi :
9 = + 12 + 22 + 32 − 42 − 52 + 62 ce qui montre que cette décomposition n'est pas optimale d'un point de vue longueur.
Le théorème d'Erdös-Suranyi-Bodini
Olivier Bodini a eu l'idée de remplacer l'exposant 2 par n'importe quel exposant p positif. Ça marche encore ! Ainsi tout entier n peut s'écrire sous la forme :
où .Exemples :
3 = + 13 − 23 + 33 + 43 + 53 + 63 − 73 + 83 − 93 + 103 − 113 − 123 + 133
2 = − 14 + 24 + 34 − 44 + 54 + 64 − 74 + 84 + 94 − 104 − 114 + 124 + 134 + 144 + 154 − 164 − 174 − 184 + 194
Liens et documents externes
"Autour d'un théorème d'Erdös sur les combinaisons à coefficients + ou -1 des premiers carrés", Revue de l'enseignement supérieur (sept 2001) p. 3-8. O. Bodini, P. Duchet, S. Lefranc.
Catégories :- Équation diophantienne
- Théorème de mathématiques
Wikimedia Foundation. 2010.
