- Symétrisation
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En mathématiques, la symétrisation d'un monoïde est une opération de construction d'un groupe dans lequel se projette le monoïde initial. Ce procédé est notamment appliqué pour construire l'ensemble des entiers relatifs à partir de celui des entiers naturels.
La symétrisation est un foncteur adjoint à gauche du foncteur d'oubli.
Si le monoïde de départ est muni d'une seconde loi de composition qui en fait un semi-anneau commutatif, son symétrisé est un anneau commutatif.
Définition du symétrisé
Chaque élément du symétrisé est représenté par un couple d'éléments du monoïde initial. Deux représentants sont équivalents s'ils ont une même image sous l'action à gauche d'éléments du monoïde.
Autrement dit, étant donné un monoïde M, son symétrisé S(M) est l'ensemble des couples d'éléments de M quotienté par la relation d'équivalence suivante :
Si le monoïde est abélien et muni d'une seconde loi qui en fait un semi-anneau commutatif, la multiplication sur le symétrisé est définie par la formule suivante :
- (a;b).(c;d) = (ac + bd;ad + bc)
Exemples
- Le symétrisé du monoïde additif des entiers naturels est le groupe des entiers relatifs.
- Le symétrisé du monoïde multiplicatif des entiers naturels non nuls est le groupe multiplicatif des rationnels.
- Le symétrisé d'un ensemble totalement ordonné (non vide), muni de la loi induite par le maximum, est réduit à un point. C'est également le cas pour les lois d'intersection ou d'union sur les parties d'un ensemble.
Remarque
Un monoïde ne s'injecte pas nécessairement dans son symétrisé.
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