Représentation P
- Représentation P
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En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation P ou réalisation-P est la représentation dans laquelle l'opérateur d'impulsion appliqué au vecteur d'état de cette représentation s'écrit p:
Dans cette représentation l'opérateur de position s'écrit :
Il faut distinguer cette représentation de la Réalisation X dans laquelle l'opérateur de position s'écrit x.
Commutateur [X,P]
Le commutateur de X et P est indépendant de la base :
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P_x}}] = \hat{\mathbf{X}}\hat{\mathbf{P_x}} - \hat{\mathbf{P_x}}\hat{\mathbf{X}}](2/5522716b902e82498d120a60ce74953d.png)
On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P_x}}]\left|p_x\right\rangle =
\hat{\mathbf{X}}\hat{\mathbf{P_x}}\left|p_x\right\rangle -
\hat{\mathbf{P_x}}\hat{\mathbf{X}}\left|p_x\right\rangle](f/fdf7a2d44ba10ae0ca5f47b487f1aa86.png)
En réalisation P, cela s'écrit :
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P_x}}]\left|p_x\right\rangle =
i\hbar\frac{\partial}{\partial p_x} (p_x\left|p_x\right\rangle) -
i\hbar p_x \frac{\partial}{\partial p_x}\left|p_x\right\rangle](f/73f2e30c0c691287079d84b19eb1893c.png)
La dérivée d'un produit uv étant (uv)' = u'v + uv'
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P_x}}]\left|p_x\right\rangle = i\hbar(
(\frac{\partial}{\partial p_x} p_x) \left|p_x\right\rangle +
p_x\frac{\partial}{\partial p_x} \left|p_x\right\rangle -
p_x\frac{\partial}{\partial p_x}\left|p_x\right\rangle
)](7/c97d4ef84a39dcc402cebf8b9535a1e9.png)
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P_x}}]\left|p_x\right\rangle = i\hbar(1)\left|p_x\right\rangle = i\hbar\left|p_x\right\rangle](b/05b69fb39c0b48b85ae2325d26e277b6.png)
La valeur du commutateur de X et P est dans cette base :
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P_x}}] = i\hbar](5/ed50c1a7245c9a74eef95756e2743ff5.png)
Cette valeur, indépendante de la base est liée au Principe d'incertitude de Heisenberg.
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Représentation P de Wikipédia en français (auteurs)
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