Représentation X
- Représentation X
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En mécanique quantique, dans un espace à une dimension (un axe x). La représentation X ou réalisation X est la représentation dans laquelle l'opérateur de position X appliqué au vecteur d'état de cette représentation s'écrit x:
Dans cette représentation l'opérateur d'impulsion selon l'axe unique s'écrit:
Il faut distinguer cette représentation de la Réalisation P dans laquelle l'opérateur d'impulsion s'écrit p.
Commutateur [X,P]
Le commutateur de X et P est indépendant de la base :
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P_x}}] = \hat{\mathbf{X}}\hat{\mathbf{P_x}} - \hat{\mathbf{P_x}}\hat{\mathbf{X}}](2/5522716b902e82498d120a60ce74953d.png)
On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P}}]\left|x\right\rangle =
\hat{\mathbf{X}}\hat{\mathbf{P}}\left|x\right\rangle -
\hat{\mathbf{P}}\hat{\mathbf{X}}\left|x\right\rangle](e/96e097b740951535439ce1d8937671d7.png)
En réalisation X, cela s'écrit :
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P}}]\left|x\right\rangle =
-i\hbar x\frac{\partial}{\partial x} \left|x\right\rangle +
i\hbar\frac{\partial}{\partial x}( x \left|x\right\rangle )](2/702ee9bbcf90f3d7955ea4ab90c10798.png)
La dérivée d'un produit uv étant (uv)' = u'v + uv'
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P}}]\left|x\right\rangle = -i\hbar(
x \frac{\partial}{\partial x} \left|x\right\rangle -
(\frac{\partial}{\partial x}x)\left|x\right\rangle -
x \frac{\partial}{\partial x}\left|x\right\rangle
)](8/ae8c14331a61a8347ccf72ead54bf46d.png)
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P}}]\left|x\right\rangle = -i\hbar(- 1)\left|x\right\rangle = i\hbar\left|x\right\rangle](e/2fe4e12ee230cbcb29840832c4ca234a.png)
La valeur du commutateur de X et P est dans cette base :
![[\hat{\mathbf{X}}, \hat{\mathbf{P}}] = i\hbar](6/6868e09e02eef55f0d134478e52cb31a.png)
Cette valeur, indépendante de la base est liée au Principe d'incertitude de Heisenberg.
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Représentation X de Wikipédia en français (auteurs)
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