Topologie cohérente

Topologie cohérente

La topologie cohérente est fréquemment utilisée en topologie algébrique, notamment en lien avec les limites inductives.

Ce vocabulaire désigne à la fois une méthode assez générale pour construire une topologie mais aussi une topologie particulière des espaces vectoriels réels de dimension infinie.

Sommaire

Topologie cohérente

Soit X un espace topologique et (A_i)_{i\in I} une famille de sous-ensembles de X. On appelle topologie cohérente déterminée par la famille (A_i)_{i\in I} la topologie la plus fine qui rende les injection canoniques j_i : A_i \to X continues (topologie finale).


Cette topologie était anciennement appelée topologie faible. Or il se trouve que la topologie cohérente est plus fine que la topologie d'origine de l'espace X alors que la topologie faible d'un espace vectoriel topologique, elle, est moins fine que la topologie originelle. La topologie faible est une topologie initiale alors que la topologie cohérente est finale. Il est donc préférable de moderniser le vocabulaire. On gardera en mémoire que la lettre W dans le mot CW-complexe signifie weak, en référence à cette topologie.

Recouvrement fondamental

Soit X un espace topologique et (A_i)_{i\in I} une famille de sous-ensembles de X. Si la topologie faible déterminée par la famille (A_i)_{i\in I} est identique à la topologie d'origine, on dit que la topologie de X est cohérente avec la famille (A_i)_{i\in I}.

Autrement dit la topologie de X cohérente avec la famille (A_i)_{i\in I} lorsque les ouverts de X sont exactement les parties de X dont les intersections avec les Ai sont des ouverts de Ai.

En général, on utilise cette notion lorsque la famille (A_i)_{i\in I} est un recouvrement de X. On appelle recouvrement fondamental de X un recouvrement de X tel que la topologie de X est cohérente avec ce recouvrement.

Exemples

  • Toute topologie est cohérente avec la famille de ses ouverts.
  • Une topologie est discrète ssi elle est cohérente avec la famille de ses singletons.
  • Les espaces métriques sont cohérents avec la famille de leurs compacts.
  • Les espaces localement compact sont cohérent avec la famille de leurs compacts.
  • Un recouvrement plus fin qu'un recouvrement fondamental est un recouvrement fondamental.

Topologie cohérente d'un espace vectoriel réel

Soit E un espace vectoriel réel de base (e_a)_{a\in A}. On appelle topologie cohérente de E la limite inductive du système inductif formé par les sous-espaces vectoriels de dimension finis de E avec leur topologie usuelle, ordonné par l'inclusion, et muni des injections canoniques.

Avec les définitions ci-dessus, cette topologie est cohérente avec les sous-espaces de dimensions finis de E, ce qui justifie le vocabulaire. Cette topologie est caractérisée par le fait qu'une partie de E est fermée ssi son intersection avec les sous-espaces de dimension finie de E sont fermés. C'est la topologie usuelle des complexe cellulaires ou simpliciaux.

Lorsque A=\N, l'espace vectoriel topologique obtenu est noté \R^{\,\infty}.

Voir aussi

Bibliographe

  • Algébraic Topology. Allen Hatcher. Cambridge University Press. 2002. L'ouvrage est disponible en ligne :[1].

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Topologie cohérente de Wikipédia en français (auteurs)

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