Prise de moyenne volumique

Prise de moyenne volumique

La prise de moyenne volumique ou volume averaging en anglais est une technique mathématique de changement d'échelles largement utilisée dans l'étude des milieux poreux. L'objectif de cette technique est de créer des modèles macroscopiques à partir de problèmes à l'échelle microscopique.

Cette technique permet notamment d'obtenir la Loi de Darcy (valable à l'échelle macroscopique) en moyennant le problème de Stokes qui décrit l'écoulement à l'échelle microscopique.


Définition de la moyenne volumique

La notion de moyenne d'une fonction ϕβ à valeur dans une phase β est propre au problème que l’ont souhaite étudier. Cependant, il est courant de la définir comme l’intégrale sur un volume \mathcal{V} arbitrairement défini. Ce volume contient du solide (la structure poreuse) autour duquel s'écoule un fluide. Ce dernier peut être monophasique ou multiphasique. On définit la moyenne volumique par:

\langle \phi_{\beta} \rangle = \frac{1}{\mathcal{V}}\int_{\mathcal{V}_{\beta}} \phi_{\beta} d \mathcal{V}

On définit également la moyenne intrinsèque à la phase β par :

\langle \phi_{\beta} \rangle^{\beta} = \frac{1}{\mathcal{V}_{\beta}}\int_{\mathcal{V}_{\beta}} \phi_{\beta} d \mathcal{V}

Généralement, lorsque l'on cherche à créer un modèle macroscopique à partir d'un problème à l'échelle du pore, on cherche les équations différentielles qui régissent les moyennes intrinsèques à chaque phase.

Ces deux moyennes sont reliées par la relation \langle \phi_{\beta} \rangle = \epsilon_{\beta} \langle \phi_{\beta} \rangle^{\beta} où \epsilon_{\beta}=\frac{\mathcal{V}_{\beta}}{\mathcal{V}}. Dans le cas où la phase β est la seule phase qui s'écoule à travers le volume \mathcal{V}, on peut identifier \epsilon_{\beta} à la porosité du milieu.

Théorème de prise de moyenne volumique

La prise de moyenne volumique n'est pas une opération évidente, notamment en ce qui concerne la moyenne d'une dérivée. En effet, la moyenne d'un gradient (opérateur au sens large de la dérivée) est dans la plupart des cas différente du gradient de la moyenne. Le théorème suivant nous permet de relier ces deux opérations:

\langle \nabla \phi_{\beta} \rangle = \nabla \langle \phi_{\beta} \rangle + \frac{1}{\mathcal{V}} \int_{\mathcal{A}_{\beta \sigma}}\textbf{n}_{\beta \sigma} \phi_{\beta} d \mathcal{A}

où \mathcal{A}_{\beta \sigma} est la frontière, à l'intérieur de \mathcal{V} , entre β et les autres phases σ, et \textbf{n}_{\beta \sigma} est le vecteur normal unitaire à cette frontière, dirigé de β vers σ.

L'intégrale exprime à l'échelle macroscopique les effets à l'interface entre deux phases (par exemple entre un fluide et la structure poreuse). C'est à travers ces intégrales que sont calculées les propriétés macroscopiques telles que la perméabilité.

Décomposition de Gray

D'un point de vue macroscopique, tout champ de variable microscopique \phi_{\beta} peut-être vu comme la contribution d'un champ moyen \langle \phi_{\beta} \rangle^{\beta} et d'une perturbation \tilde{ \phi}_{\beta} également appelée fluctuation. La décomposition de Gray (du nom du chercheur l'ayant proposée) stipule que

\phi_{\beta} = \langle \phi_{\beta} \rangle^{\beta} + \tilde{ \phi}_{\beta}

Cette définition est cohérente avec le fait que la moyenne volumique des fluctuations est nulle (\langle \tilde{ \phi}_{\beta} \rangle^{\beta} = 0 ).



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Prise de moyenne volumique de Wikipédia en français (auteurs)

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