Moyenne de Riesz

Moyenne de Riesz

En mathématiques, les moyennes de Riesz sont certaines moyennes des termes d'une série. Elles ont été introduites par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro[1],[2]. Les moyennes de Riesz ne doivent pas être confondues avec celles de Bochner-Riesz (en) ni avec les moyennes fortes de Riesz.

Définition

La moyenne de Riesz d'une série de terme général sn est définie par :

s^\delta(\lambda) = \sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n

et sa moyenne de Riesz généralisée est définie par :

R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k,

où (\lambda_n)~ est un suite arbitraire telle que \lambda_n\to\infty et \lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1 quand n\to\infty.

Les moyennes de Riesz sont souvent utilisées pour explorer la sommabilité des séries ; les théorèmes de sommabilité usuels traitent du cas de S_n = \sum_{k=0}^n s_n. Typiquement, une série est sommable lorsque la limite \lim_{n\to\infty} R_n existe, ou la limite \lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda) existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

Cas particuliers

Soit sn = 1 quel que soit n. Alors

\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s~\mathrm ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}

Ici, on doit prendre c > 1 ; Γ est la fonction gamma et ζ est la fonction zêta de Riemann. On peut montrer que la série de puissances

∑ bnλ − n
n

converge pour λ > 1. Remarquons que l'intégrale est de la forme d'une transformée de Mellin inverse.

Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant sn = Λ(n) où Λ(n) est la fonction de von Mangoldt. Alors

\sum_{n\le\lambda}\left(1-\frac n\lambda\right)^\delta\Lambda(n) =-\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)}\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)}\lambda^s~\mathrm ds =\frac{\lambda}{1+\delta}+\sum_\rho\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}+\sum_nc_n\lambda^{-n}.

De nouveau, on doit prendre c > 1. La somme sur ρ est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et

∑ cnλ − n
n

converge pour λ > 1.

Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice (en) ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.

Références


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Moyenne de Riesz de Wikipédia en français (auteurs)

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