Lemme de Hadamard

Lemme de Hadamard

Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse.

Énoncé

Soit f:\R^n\rightarrow\R une fonction de classe Cp avec p\ge 1. Alors pour tout a=(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n, il existe des fonctions g_1,\cdots g_n, de classe Cp − 1 telles que pour tout x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,

f(x)=f(a)+\sum_{i=1}^n(x_i-a_i)g_i(x).

Démonstration

On a f(x)-f(a)=\int_0^1\frac{d}{dt} f(a+t(x-a))dt. Mais \frac{d}{dt} f(a+t(x-a))=\sum_{i=1}^n(x_i-a_i)\frac{\partial}{\partial x_i} f(a+t(x-a)). Le résultat s'ensuit, avec g_i(x)=\int_0^1\frac{\partial}{\partial x_i} f(a+t(x-a))dt qui est Cp − 1 en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).

Remarques

  • On a nécessairement g_i(a) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a).
  • Les fonctions gi ne sont pas uniques.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Lemme de Hadamard de Wikipédia en français (auteurs)

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