- Lemme de Gauss (géométrie riemannienne)
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En géométrie riemannienne, le lemme de Gauss permet de comprendre l'application exponentielle comme une isométrie radiale. Dans ce qui suit, soit M une variété riemannienne dotée d'une connexion de Levi-Civita (i.e. en particulier, cette connexion est symétrique et compatible avec la métrique de M).
Sommaire
Introduction
Nous avons défini sur M l'application exponentielle en
par
où on a dû restreindre le domaine TpM de définition à une boule
de rayon ε > 0 et de centre 0 pour s'assurer que exp p est bien définie et où γ(1,p,v) est le point
atteint en suivant l'unique géodésique γ passant par le point
avec la vitesse
sur une distance
. Nous remarquons très aisément que exp p est un difféomorphisme local autour de
. En effet, soit
une courbe différentiable dans TpM telle que α(0): = 0 et α'(0): = v. Comme
, il est clair qu'on peut choisir α(t): = vt. Dans ce cas, par la définition de la différentielle de l'exponentielle en 0 appliquée sur v, nous obtenons
Le fait que exp p soit un difféomorphisme local et que T0exp p(v) = v pour tout
nous permet d'affirmer que exp p est une isométrie locale autour de 0, i.e.
Ceci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule
avec un petit voisinage autour de
. Nous sommes déjà contents de voir que exp p est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !
Fichier:Gauss lemma local isometry.pngL'exponentielle comme isométrie localeCeci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule
avec un petit voisinage autour de
. Nous sommes déjà contents de voir que
est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !
Lemme de Gauss : l'exponentielle comme isométrie radiale
Soit
. Dans ce qui suit, nous faisons l'identification
. Le lemme de Gauss dit :
Soient
et
. Alors,
Pour
, ce lemme signifie que
est une isométrie radiale dans le sens suivant : soit
, i.e. tel que
est bien définie. De plus, soit
. Alors, l'exponentielle
reste une isométrie en
, et, plus généralement, tout au long de la géodésique
(pour autant que
soit bien définie) ! Donc, radialement, dans toutes les directions permises par le domaine de définition de
, celle-ci reste une isométrie.
Fichier:Gauss lemma radial isometry.pngL'exponentielle comme isométrie radialePreuve
Rappelons que
Nous procédons en trois étapes :
: construisons une courbe
telle que
,
et | v | = cste. Comme
, on peut poser
. Alors,
Calculons maintenant le produit scalaire
.
Décomposons
en une composante
tangente à
et une composante
normale à
. En particulier, posons
,
.
L'étape précédente implique alors directement :
Il faut donc montrer que le second terme est nul, car, selon le lemme de Gauss, on devrait avoir
:
Fichier:Gauss lemma proof.pngLa courbe choisie pour prouver le lemmedéfinissons la courbe
avec
et
. On remarque au passage que
Posons alors
et calculons :
et
Donc,
On va vérifier maintenant que ce produit scalaire est en fait indépendant de la variable t, et donc que, par exemple,
car, selon ce qui a été donné plus haut,
étant donné que la différentielle est une application linéaire ! Ceci prouverait alors le lemme.
- On vérifie que
: c'est du calcul direct. En effet, on prend d'abord conscience du fait que les applications
sont des géodésiques, i.e.
. Alors,
Donc, en particulier,
car on a | v | = cste.
Voir aussi
Référence
(en) Manfredo Perdigão do Carmo, Riemannian geometry, Boston, Birkhäuser Verlag (en), 1992 (ISBN 9780817634902) [présentation en ligne]
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