Lemme de Gauss (géométrie Riemannienne)

Dans la géométrie Riemannienne, le lemme de Gauss permet de comprendre l'application exponentielle comme une isométrie radiale. Dans ce qui suit, soit M une variété de Riemann dotée d'une connexion de Levi-Civita (i.e. en particulier, cette connexion est symétrique et compatible avec la métrique de M).

Sommaire

1 Introduction
2 Lemme de Gauss : l'exponentielle comme isométrie radiale
- 2.1 Preuve
3 Voir aussi
4 Références

Introduction

Nous avons défini sur $M$ l'application exponentielle en $p\in M$ par

$\exp_p:T_pM\supset B_{\epsilon}(0) \longrightarrow M,\qquad v\longmapsto \gamma(1, p, v),$

où on a dû restreindre le domaine $T p M$ de définition à une boule $B ε (0)$ de rayon $ε > 0$ et de centre $0$ pour s'assurer que $exp p$ est bien définie et où $γ(1, p, v)$ est le point $q\in M$ atteint en suivant l'unique géodésique $γ$ passant par le point $p\in M$ avec la vitesse $\frac{v}{\vert v\vert}\in T_pM$ sur une distance $\vert v\vert$ . Nous remarquons très aisément que $exp p$ est un difféomorphisme local autour de $0\in B_\epsilon(0)$ . En effet, soit $\alpha : I\rightarrow T_pM$ une courbe différentiable dans $T p M$ telle que $α(0): = 0$ et $α'(0): = v$ . Comme $T_pM\cong \mathbb R^n$ , il est clair qu'on peut choisir $α(t): = v t$ . Dans ce cas, par la définition de la différentielle de l'exponentielle en $0$ appliquée sur $v$ , nous obtenons

$T_0\exp_p(v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\exp_p\circ\alpha(t)\Bigr)\Big\vert_{t=0} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\exp_p(vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\gamma(1,p,vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}= \gamma'(t,p,v)\Big\vert_{t=0}=v.$

Le fait que $exp p$ soit un difféomorphisme local et que $T 0 exp p (v) = v$ pour tout $v\in B_\epsilon(0)$ nous permet d'affirmer que $exp p$ est une isométrie locale autour de 0, i.e.

$\langle T_0\exp_p(v), T_0\exp_p(w)\rangle_0 = \langle v, w\rangle_p\qquad\forall v,w\in B_\epsilon(0).$

Ceci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule $B_\epsilon(0)\subset T_pM$ avec un petit voisinage autour de $p\in M$ . Nous sommes déjà contents de voir que $exp p$ est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !

Fichier:Gauss lemma local isometry.png

L'exponentielle comme isométrie locale

Ceci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule $B_\epsilon(0)\subset T_pM$ avec un petit voisinage autour de $p\in M$ . Nous sommes déjà contents de voir que $\exp_p\$ est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !

Lemme de Gauss : l'exponentielle comme isométrie radiale

Soit $p\in M$ . Dans ce qui suit, nous faisons l'identification $T_vT_pM\cong T_pM\cong \mathbb R^n$ . Le lemme de Gauss dit :

Soient $v,w\in B_\epsilon(0)\subset T_vT_pM\cong T_pM$ et $M\ni q:=\exp_p(v)$ . Alors,

$\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w)\rangle_v = \langle v,w\rangle_q.$

Pour $p\in M$ , ce lemme signifie que $\exp_p\$ est une isométrie radiale dans le sens suivant : soit $v\in B_\epsilon(0)$ , i.e. tel que $\exp_p\$ est bien définie. De plus, soit $q:=\exp_p(v)\in M$ . Alors, l'exponentielle $\exp_p\$ reste une isométrie en $q\$ , et, plus généralement, tout au long de la géodésique $\gamma\$ (pour autant que $\gamma(1,p,v)=\exp_p(v)\$ soit bien définie) ! Donc, radialement, dans toutes les directions permises par le domaine de définition de $\exp_p\$ , celle-ci reste une isométrie.

Fichier:Gauss lemma radial isometry.png

L'exponentielle comme isométrie radiale

Preuve

Rappelons que

$T_v\exp_p : T_pM\cong T_vT_pM\supset T_vB_\epsilon(0)\longrightarrow T_qM.$

Nous procédons en trois étapes :

$T_v\exp_p(v)=v\$ : construisons une courbe $\alpha : \mathbb R \supset I \rightarrow T_pM$ telle que $\alpha(0):=v\in T_pM$ , $\alpha'(0):=v\in T_vT_pM\cong T_pM$ et $| v | = c s t e$ . Comme $T_vT_pM\cong T_pM\cong \mathbb R^n$ , on peut poser $\alpha(t):=e^tv\$ . Alors,

$T_v\exp_p(v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Bigl(\exp_p\circ\alpha(t)\Bigr)\Big\vert_{t=0}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\gamma(t,p,v)\Big\vert_{t=0} = v.$

Calculons maintenant le produit scalaire $\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w)\rangle$ .

Décomposons $w\$ en une composante $w_T\$ tangente à $v\$ et une composante $w_N\$ normale à $v\$ . En particulier, posons $w_T:=\alpha v\$ , $\alpha\in \mathbb R$ .

L'étape précédente implique alors directement :

$\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w)\rangle = \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_T)\rangle + \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle=\alpha\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(v)\rangle + \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle=\langle v, w_T\rangle + \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle.$

Il faut donc montrer que le second terme est nul, car, selon le lemme de Gauss, on devrait avoir

$\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle = \langle v, w_N\rangle = 0.$

$\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle = 0$ :

Fichier:Gauss lemma proof.png

La courbe choisie pour prouver le lemme

définissons la courbe

$\alpha : ]-\epsilon, \epsilon[\times [0,1] \longrightarrow T_pM,\qquad (s,t) \longmapsto t\cdot v(s),$

avec $v(0):=v\$ et $v'(0):=w_N\$ . On remarque au passage que

$\alpha(0,1) = v(0) = v,\qquad\frac{\partial \alpha}{\partial t}(0,t) = v(0) = v,\qquad\frac{\partial \alpha}{\partial s}(0,t) = tw_N.$

Posons alors

$f : ]-\epsilon, \epsilon[\times [0,1] \longrightarrow M,\qquad (s,t)\longmapsto \exp_p(t\cdot v(s)),$

et calculons :

$T_v\exp_p(v)=T_{\alpha(0,1)}\exp_p\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}(0,1)\right)=\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\exp_p\circ\alpha(s,t)\Bigr)\Big\vert_{t=1, s=0}=\frac{\partial f}{\partial t}(0,1)$

$T_v\exp_p(w_N)=T_{\alpha(0,1)}\exp_p\left(\frac{\partial \alpha}{\partial s}(0,1)\right)=\frac{\partial}{\partial s}\Bigl(\exp_p\circ\alpha(s,t)\Bigr)\Big\vert_{t=1,s=0}=\frac{\partial f}{\partial s}(0,1).$

Donc,

$\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle = \langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle(0,1).$

On va vérifier maintenant que ce produit scalaire est en fait indépendant de la variable t, et donc que, par exemple,

$\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle(0,1) = \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle(0,0) = 0,$

car, selon ce qui a été donné plus haut,

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\partial f}{\partial s}(t,0) = \lim_{t\rightarrow 0}T_{tv}\exp_p(tw_N) = 0$

étant donné que la différentielle est une application linéaire ! Ceci prouverait alors le lemme.

On vérifie que $\frac{\partial}{\partial t}\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle=0$ : c'est du calcul direct. En effet, on prend d'abord conscience du fait que les applications $t\mapsto f(s,t)$ sont des géodésiques, i.e. $\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}=0$ . Alors,

$\frac{\partial}{\partial t}\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle=\langle\underbrace{\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}}_{=0}, \frac{\partial f}{\partial s}\rangle+\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial s}\rangle=\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\rangle=\frac{\partial }{\partial s}\langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t}\rangle - \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\rangle.$

Donc, en particulier,

$0=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial s}\langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t}\rangle= \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\rangle=\frac{\partial}{\partial t}\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle,$

car on a $| v | = c s t e$ .

Voir aussi

Références

Ce document provient de « Lemme de Gauss (g%C3%A9om%C3%A9trie Riemannienne) ».

Catégorie : Géométrie riemannienne

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Lemme de Gauss (géométrie Riemannienne) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

Lemme de Gauss (géométrie riemannienne) — En géométrie riemannienne, le lemme de Gauss permet de comprendre l application exponentielle comme une isométrie radiale. Dans ce qui suit, soit M une variété riemannienne dotée d une connexion de Levi Civita (i.e. en particulier, cette… … Wikipédia en Français
Géométrie différentielle des surfaces — En mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies… … Wikipédia en Français
Gauss (homonymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Carl Friedrich Gauss (1777 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand. Le gauss, une unité de mesure du champ magnétique, noté G. GAUSS, un… … Wikipédia en Français
Formule de Gauss-Bonnet — En géométrie différentielle, la formule de Gauss Bonnet est une propriété reliant la géométrie (au sens de la courbure de Gauss) et la topologie (au sens de la caractéristique d Euler) des surfaces. Elle porte le nom des mathématiciens Carl… … Wikipédia en Français
Équations de Gauss-Codazzi — En géométrie riemannienne, les équations de Gauss Codazzi Mainardi sont des équations fondamentales dans le cadre de la théorie des hypersurfaces plongées dans un espace euclidien, et plus généralement des sous variétés d une variété riemannienne … Wikipédia en Français
Théorème de Gauss — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Plusieurs lemmes ou théorèmes portent le nom de Gauss, en référence au mathématicien Carl Friedrich Gauss. Lemmes : un lemme de Gauss en arithmétique … Wikipédia en Français
Theoreme de gauss — Théorème de Gauss Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Plusieurs lemmes ou théorèmes portent le nom de Gauss, en référence au mathématicien Carl Friedrich Gauss : Un lemme de Gauss… … Wikipédia en Français
Théorème de gauss — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Plusieurs lemmes ou théorèmes portent le nom de Gauss, en référence au mathématicien Carl Friedrich Gauss : Un lemme de Gauss généralisant le lemme d … Wikipédia en Français
Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… … Wikipédia en Français
Liste des lemmes (mathematiques) — Liste des lemmes (mathématiques) Liste des lemmes mathématiques par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom des lemmes comprend des noms de scientifiques, on se base sur le… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Lemme de Gauss (géométrie Riemannienne)