- Lemme de Gauss (géométrie Riemannienne)
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Lemme de Gauss (géométrie Riemannienne)
Dans la géométrie Riemannienne, le lemme de Gauss permet de comprendre l'application exponentielle comme une isométrie radiale. Dans ce qui suit, soit M une variété de Riemann dotée d'une connexion de Levi-Civita (i.e. en particulier, cette connexion est symétrique et compatible avec la métrique de M).
Sommaire
Introduction
Nous avons défini sur M l'application exponentielle en par
où on a dû restreindre le domaine TpM de définition à une boule Bε(0) de rayon ε > 0 et de centre 0 pour s'assurer que expp est bien définie et où γ(1,p,v) est le point atteint en suivant l'unique géodésique γ passant par le point avec la vitesse sur une distance . Nous remarquons très aisément que expp est un difféomorphisme local autour de . En effet, soit une courbe différentiable dans TpM telle que α(0): = 0 et α'(0): = v. Comme , il est clair qu'on peut choisir α(t): = vt. Dans ce cas, par la définition de la différentielle de l'exponentielle en 0 appliquée sur v, nous obtenons
Le fait que expp soit un difféomorphisme local et que T0expp(v) = v pour tout nous permet d'affirmer que expp est une isométrie locale autour de 0, i.e.
Ceci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule avec un petit voisinage autour de . Nous sommes déjà contents de voir que expp est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !
Fichier:Gauss lemma local isometry.pngCeci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule avec un petit voisinage autour de . Nous sommes déjà contents de voir que est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !
Lemme de Gauss : l'exponentielle comme isométrie radiale
Soit . Dans ce qui suit, nous faisons l'identification . Le lemme de Gauss dit :
Soient et . Alors,
Pour , ce lemme signifie que est une isométrie radiale dans le sens suivant : soit , i.e. tel que est bien définie. De plus, soit . Alors, l'exponentielle reste une isométrie en , et, plus généralement, tout au long de la géodésique (pour autant que soit bien définie) ! Donc, radialement, dans toutes les directions permises par le domaine de définition de , celle-ci reste une isométrie.
Fichier:Gauss lemma radial isometry.pngPreuve
Rappelons que
Nous procédons en trois étapes :
- : construisons une courbe telle que , et | v | = cste. Comme , on peut poser . Alors,
Calculons maintenant le produit scalaire .
Décomposons en une composante tangente à et une composante normale à . En particulier, posons , .
L'étape précédente implique alors directement :
Il faut donc montrer que le second terme est nul, car, selon le lemme de Gauss, on devrait avoir
- :
Fichier:Gauss lemma proof.pngdéfinissons la courbe
avec et . On remarque au passage que
Posons alors
et calculons :
et
Donc,
On va vérifier maintenant que ce produit scalaire est en fait indépendant de la variable t, et donc que, par exemple,
car, selon ce qui a été donné plus haut,
étant donné que la différentielle est une application linéaire ! Ceci prouverait alors le lemme.
- On vérifie que : c'est du calcul direct. En effet, on prend d'abord conscience du fait que les applications sont des géodésiques, i.e. . Alors,
Donc, en particulier,
car on a | v | = cste.
Voir aussi
Références
Catégorie : Géométrie riemannienne
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