Fermeture transitive

Fermeture transitive
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la clôture transitive.

La fermeture transitive est une opération mathématique pouvant être appliquée sur des ensembles.

Sommaire

Théorie des ensembles

La fermeture transitive d'une relation binaire R sur un ensemble X est la plus petite relation transitive R + sur X contenant R[1]. Si la relation R est transitive, alors on a l'égalité R + = R.
Sinon, la fermeture transitive est définie comme :

R^+=\bigcup_{i\in\N}^{} R^i

Ce qui peut également se traduire ainsi :

\textstyle\forall (a,b) \in X^2,\quad\exists \underset{0\leqslant i\leqslant N}{\{c_i\}} \subset X \quad / \quad a~R^+~b~=~{c_0~R~c_1~R~c_2~R~\ldots~R~c_{N-1}~R~c_N}

Théorie des graphes

La fermeture transitive C(G) du graphe G est construite par ajout d'arcs au graphe G.]
La fermeture transitive C(G) du graphe G est construite par ajout d'arcs au graphe G.

La fermeture transitive C(G) d'un graphe G est un graphe tel qu'il existe un arc entre toute paire de sommets entre lesquels il existe un chemin. Ceci s'exprime également ainsi :

\textstyle\forall (u,v) \in C(G), \quad u \to v \Leftrightarrow \exists \underset{\underset{u_0=u, u_N=v}{0\leqslant i\leqslant N}}{\{u_i\}} \subset G \quad / \quad { u_0 \to u_1 \to \ldots \to u_{N-1} \to u_N}

La fermeture transitive peut se calculer au moyen de matrice binaire. On privilégie souvent la notation B = {1, 0}. Quand on programme des algorithmes utilisant ces matrices, la notation {VRAI, FAUX} peut coexister avec la notation {1, 0} car de nombreux langages acceptent ce polymorphisme.

Articles connexes

Références

  1. ↑ Wolfram Mathworld Transitive closure on Wolfram Mathworld

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fermeture transitive de Wikipédia en français (auteurs)

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