Équation de Born-Landé

L'équation de Born-Landé est un moyen de calculer l'énergie réticulaire d'un composé ionique cristallin. En 1918^[1] Max Born et Alfred Landé proposent une expression de l'énergie réticulaire dérivant du potentiel électrostatique du réseau et d'un terme d'énergie potentielle répulsive^[2].

$E = -\frac{N_AMz^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}(1-\frac{1}{n})$ (en joules par mole)

avec:

N A

= nombre d'Avogadro

M

= constante de Madelung, liée à la géométrie du réseau.

z +

= charge du cation en eV

z -

= charge de l'anion en eV

e

= charge de l'électron en coulombs, 1.6022 ×10⁻¹⁹ C

$\epsilon_0$ = permittivité du vide

4πε 0

= 1.112 ×10⁻¹⁰ C²/(J·m)

r 0

= distance entre l'ion et son plus proche voisin

n

= facteur de Born , un nombre compris entre 5 et 12, déterminé théoriquement ou expérimentalement par mesure de compressibilité du solide^[3].

Démonstration

Le cristal ionique est modélisé comme étant un assemblage de sphères élastiques compressées ensembles par les attractions électrostatiques mutuelles des ions. Les distances à l'équilibre entre ions proviennent de répulsions à courte portée qui finissent par s'opposer aux attractions.

Potentiel électrostatique

Le potentiel électrostatique $E c$ entre une paire d'ions de même charge ou de charge opposée est donné par:-

$E_c = -\frac{z^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}$

où:

z +

= charge du cation

z -

= charge de l'anion

e

= charge de l'électron en coulombs, 1.6022 ×10⁻¹⁹ C

$\epsilon_0$ = permittivité du vide

4πε 0

= 1.112 ×10⁻¹⁰ C²/(J m)

r 0

= distance entre les ions

Pour un réseau la somme des interactions entre tous les ions donne l'énergie de Madelung $E M$ :

$E_M = -\frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r_0}$

avec:

z

= charge des ions

e

= 1.6022 ×10⁻¹⁹ C

4πε 0

= 1.112 ×10⁻¹⁰ C²/(J m)

M

= constante de Madelung, liée à la géométrie du cristal

Terme Répulsif

Born et Lande ont suggéré que la répulsion entre ions serait proportionnelle à $1 / r n$ (où r est la distance entre ions). L'énergie répulsive $E R$ , devient:

$\,E_R = \frac{B}{r^n}$

où

B

= constante

r

= distance entre ions

n

= facteur de Born, un nombre compris entre 5 et 12

Énergie totale

L'énergie totale du réseau peut s'exprimer comme étant la somme des potentiels attractifs et répulsifs :

$E = -\frac{z^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0} + \frac{B}{r^n}$

et l'énergie minimale (à la distance d'équilibre) est donnée par:

$E = -\frac{N_AMz^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}(1-\frac{1}{n})$

Énergies réticulaires calculées

L'équation de Born-Landé donne une valeur satisfaisante d'énergie réticulaire^[2]

Composé	Energie réticulaire calculée	Energie réticulaire expérimentale
NaCl	−756 kJ/mol	−787 kJ/mol
LiF	−1007 kJ/mol	−1046 kJ/mol
CaCl₂	−2170 kJ/mol	−2255 kJ/mol

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Born-Landé equation » (voir la liste des auteurs)

↑ I.D. Brown, The chemical Bond in Inorganic Chemistry, IUCr monographs in crystallography, Oxford University Press, 2002, ISBN 0-19-850870-0
↑ ^{a et b} David Arthur Johnson, Metals and Chemical Change, Open University, Royal Society of Chemistry, 2002,ISBN 0-85404-665-8
↑ Cotton, F. Albert; Wilkinson, Geoffrey; (1966). Advanced Inorganic Chemistry (2d Edn.) New York:Wiley-Interscience.

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