- Ensemble de Vitali
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L'ensemble de Vitali est un exemple simple de partie non mesurable de la droite réelle, découvert en 1905 par le mathématicien Giuseppe Vitali. L'axiome du choix joue un rôle essentiel dans sa construction.
Les ensembles de Vitali
Chaque classe d'équivalence élément de l'ensemble quotient
rencontre l'intervalle unité [0,1] : l'axiome du choix assure donc l'existence d'une partie V de [0,1] qui contienne un et un seul représentant de chaque classe de réels modulo 
.On appellera ensemble de Vitali tout ensemble ayant cette forme.
Les ensembles de Vitali ne sont pas mesurables au sens de Lebesgue.
Preuve de la non-mesurabilité
Supposons V mesurable. Puisqu'il est borné, sa mesure de Lebesgue est donc finie.
On considère l'ensemble :
formé par la réunion de certains translatés de V.
On remarque que cette réunion, qui est une réunion dénombrable, est aussi une réunion d'ensembles deux à deux disjoints puisque V ne contient qu'un réel par classe d'équivalence modulo
. La mesure de A est donc nulle si celle de V est nulle, infinie si celle de V est strictement positive.Supposons la mesure de V nulle, donc aussi celle de A. On peut pourtant remarquer que [0,1] est inclus dans A. En effet, par définition de V, tout réel x de [0,1] est congru modulo
à un élément y de V ; ceci signifie que x-y appartient à . De plus, comme x et y sont tous deux dans [0,1], -1≤ x-y≤ 1 donc x, qui est dans le translaté V+(x-y), est élément de A. Un ensemble de mesure nulle contenant [0,1] fournit une contradiction.Supposons la mesure de V strictement positive, donc celle de A infinie. Dans ce cas, on remarque que, puisque V est inclus dans [0,1], tous les translatés de V utilisés pour construire A sont des parties de [-1,2], et leur réunion A est donc lui aussi une partie de [-1,2]. Un ensemble de mesure infinie contenu dans [-1,2] fournit une contradiction.
CQFD
Références
- Giuseppe Vitali, « Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta », dans Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905
- Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer, 2006, p. 120.
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- Théorie de la mesure
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