Conjecture jacobienne

En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, la conjecture jacobienne est une conjecture concernant les polynômes à plusieurs variables. Elle fut proposée en 1939 par Ott-Heinrich Keller (en), et Shreeram Abhyankar (en) lui donna par la suite son nom actuel, la popularisant comme un exemple d'une question de géométrie algébrique ne demandant que peu de connaissances pour être énoncée.

La conjecture jacobienne est également célèbre pour le grand nombre de tentatives de preuves qu'elle a suscité, et qui contenaient des erreurs subtiles. En 2011, aucune démonstration n'est reconnue pour valide.

Formulation

Pour N > 1, soient N polynômes F_i (pour 1 ≤ i ≤ N) dans les variables X₁, …, X_N, et dont les coefficients appartiennent à un corps algébriquement clos k (on peut en fait supposer que k=C, le corps des nombres complexes). Considérons cette suite de polynômes comme une fonction vectorielle F: k^N → k^N dont les composantes sont les F_i . Le jacobien J de F est par définition le déterminant de la matrice jacobienne N × N formée des dérivées partielles des F_i par rapport aux X_j : J est lui-même une fonction des N variables X₁, …, X_N ; et même une fonction polynomiale.

La condition J ≠ 0 assure (pour des fonctions régulières, et donc en particulier pour des polynômes) l'existence d'un inverse local pour F (c'est le théorème des fonctions implicites) en chaque point où elle est vérifiée. Comme k est algébriquement clos, et que J est un polynôme, J s'annule pour certaines valeurs des X₁, …, X_N, sauf si J est constante. on en déduit facilement que :

Si F possède une fonction inverse (globale), c'est-à-dire s'il existe G : k^N → k^N telle que identité (de k^N ), alors J est une constante non nulle.

La conjecture jacobienne affirme que la réciproque (un peu renforcée) est vraie, c'est-à-dire que :

Si J est une constante non nulle, F admet un inverse G : k^N → k^N, et G est régulière, c'est-à-dire que ses composantes sont données par des polynômes.

Résultats

En 1980, Wang^[1] démontra la conjecture jacobienne pour les polynômes de degré 2, et en 1982, Bass, Connell et Wright^[2] démontrèrent que le cas général est conséquence du cas particulier des polynômes de degré 3. La conjecture a été vérifiée par Moh^[3] pour les polynômes à deux variables de degré au plus 100.

La conjecture jacobienne est équivalente à la conjecture de Dixmier (en)^[4].

Voir aussi

• Problèmes de Smale

Notes

Références

• (en) Hyman Bass, « The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse », dans American Mathematical Society. Bulletin. New Series, vol. 7, n^o 2, 1982, p. 287–330 (ISBN 9791982150327) [lien DOI] 
• (en) Alexei Belov-Kanel, « The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture », dans Moscow Mathematical Journal, vol. 7, n^o 2, 2007, p. 209–218 
• (en) A. van den Essen, Jacobian conjecture, Springer 
• (de) Ott-Heinrich Keller, « Ganze Cremona-Transformationen », dans Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 47, n^o 1, 1939, p. 299–306 (ISSN 0026-9255) [texte intégral, lien DOI] 
• (en) T. T. Moh, « On the Jacobian conjecture and the configurations of roots », dans Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 340, 1983, p. 140–212 (ISSN 0075-4102) [texte intégral] 
• (en) A. van den Essen, Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture.

Liens externes

• Page de T. T. Moh sur la conjecture

• Portail des mathématiques