Brique d'Euler

Brique d'Euler

Une brique d'Euler (du nom du mathématicien Leonhard Euler) est un parallélépipède rectangle dont les côtés et les diagonales des faces ont des longueurs entières.

Sommaire

Formulation arithmétique

Les dimensions d'une brique parfaite d'Euler correspondent à une solution au système d'équations diophantiennes :

\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ b^2 + c^2 = e^2\\ a^2 + c^2 = f^2\end{cases}

Euler a trouvé au moins deux solutions paramétriques à ce problème, mais n'a pas donné toutes les solutions[1].

Propriété

Pour une brique d'Euler donnée de côtés (a, b, c), le triplet (bc, ac, ab) constitue également une brique d'Euler.

Démonstration — Comme (a, b, c) forme une brique d'Euler, il existe trois entiers d, e et f tels que

\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ b^2 + c^2 = e^2\\ a^2 + c^2 = f^2\end{cases}

En multipliant la première ligne par c², la deuxième par a² et la troisième par b², on obtient

\begin{cases} (ac)^2 + (bc)^2 = (dc)^2\\ (ab)^2 + (ac)^2 = (ea)^2\\ (ab)^2 + (bc)^2 = (fb)^2\end{cases}

où dc, ea et fb sont des entiers.

Ceci montre que le triplet (bc, ac, ab) constitue une brique d'Euler.

Exemples

La plus petite brique d'Euler, découverte par Paul Halcke en 1719, a pour côtés (a,b,c) = (240,117,44) et les diagonales des faces sont 267, 244, et 125.

Voici d'autres solutions — on donne les longueurs des côtés sous forme d'un triplet (a, b, c) — :

  • (275, 252, 240),
  • (693, 480, 140),
  • (720, 132, 85), et
  • (792, 231, 160).

Brique parfaite d'Euler

Article détaillé : Brique parfaite d'Euler.

Une brique parfaite d’Euler est un parallélépipède rectangle dont les côtés, les diagonales des faces et la diagonale principale qui joint deux sommets opposés ont toutes des longueurs entières. Aucun exemple de cette brique parfaite n’est connu à ce jour.

Notes et références

  1. ↑ Euler Brick sur Mathworld. Consulté le 14 juillet 2010

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Brique d'Euler de Wikipédia en français (auteurs)

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