Raisonnement par analyse-synthèse
- Raisonnement par analyse-synthèse
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En mathématiques, le raisonnement par analyse-synthèse[1] est une méthode de détermination de l'ensemble des solutions d'un problème et de rédaction d'une démonstration de cette résolution.
Principe
Un raisonnement par analyse-synthèse se déroule en deux étapes :
- l'analyse : on raisonne sur une hypothétique solution du problème et on accumule des déductions de propriétés qu'elle doit vérifier, du seul fait qu'elle est solution ;
- la synthèse : on examine tous les objets vérifiant les conditions nécessaires précédemment accumulées (ce sont les seuls candidats possibles à être des solutions) et on détermine, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions.
Il arrive souvent que la phase d'analyse produise des conditions nécessaires si restrictives qu'il ne reste plus qu'un « candidat » qui les vérifie. Dans ce cas, cette première phase prouve l'unicité de la solution, et la phase de synthèse permet de montrer soit l'existence d'une solution (si ce candidat répond au problème), soit (sinon) qu'il n'y a aucune solution.
Exemples
- Dans l'article Application linéaire, la même méthode permet de démontrer l'unicité puis l'existence d'une application linéaire envoyant une base fixée sur une famille donnée de vecteurs.
- On peut démontrer l'unicité puis l'existence de la décomposition polaire d'une matrice inversible par cette méthode.
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Note et références
- ↑ Michel de Cointet Michel, Henri Bareil, « Égalités et équations » , Bulletin de l'APMEP N° 446 (2003) p. 347-354, notice
Pour approfondir : Joseph Rémi Léopold Delboeuf, Prolégomènes philosophiques de la géometrie et solution des postulats, J. Desoer, 1860, « De l'analyse et de la synthèse en mathématiques » , p. 104 à 117
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2010.
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