- 32-graphe de Thomassen
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32-Graphe de Thomassen Nombre de sommets 32 Nombre d'arêtes 53 Distribution des degrés 3 (24 sommets)
4 (6 sommets)
5 (2 sommets)Rayon 4 Diamètre 6 Maille 4 Nombre chromatique 3 Indice chromatique 5 Propriétés Hypohamiltonien modifier Le 32-graphe de Thomassen est, en théorie des graphes, un graphe possédant 32 sommets et 53 arêtes. Il est hypohamiltonien, c'est-à-dire qu'il n'a pas de cycle hamiltonien mais que la suppression de n'importe lequel de ses sommets suffit à le rendre hamiltonien[1].
Sommaire
Histoire
En 1967, Herz, Duby et Vigué conjecturent que tout graphe hypohamiltonien a une maille de 5 ou plus[2]. Cette hypothèse est invalidée en 1974 par Carsten Thomassen (en), qui introduit simultanément un graphe hypohamiltonien de maille 3, le 60-graphe de Thomassen, et un graphe hypohamiltonien de maille 4, le 32-graphe de Thomassen[1].
Propriétés
Propriétés générales
Le diamètre du 32-graphe de Thomassen, l'excentricité maximale de ses sommets, est 6, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 4 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Coloriage
Le nombre chromatique du 32-graphe de Thomassen est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
L'indice chromatique du 32-graphe de Thomassen est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Propriétés algébriques
Le polynôme caractéristique du 32-graphe de Thomassen est : (x − 1)9x(x + 1)(x + 2)4(x2 − 6)(x3 + x2 − 6x − 2)(x4 − 9x2 − 2x + 14)(x4 − 3x3 − 5x2 + 11x + 4)(x4 + 2x3 − 7x2 − 14x − 2).
Notes et références
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein, « Thomassen Graphs », MathWorld
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