Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de maxwell

Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell

L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.

Équation relative au champ électrique $E$

Pour éliminer le champ magnétique $\vec B$ entre $\vec{\operatorname{rot}} \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}$ et $\vec{\operatorname{rot}} \vec H = \vec j + \frac{\partial \vec D}{\partial t}$ , il suffit de remplacer $\vec B$ dans la première équation par son expression en fonction de $\vec E$ . Pour cela, comme $\vec B = \mu \vec H$ peut être obtenu par son rotationnel (deuxième équation), il est donc judicieux de faire apparaître $\vec{\operatorname{rot}} \vec B$ au second membre de la première équation, en considérant le rotationnel des deux membres de cette équation.

$\vec{\operatorname{rot}} \left( \vec{\operatorname{rot}} \vec{E} \right) = \vec{\operatorname{rot}} \left( - \frac{\partial \vec B}{\partial t} \right)$

Grâce au théorème de Schwarz on peut permuter les opérateurs spatiaux et temporels ainsi qu'en remplaçant avec l'expression du rotationnel de $\vec B$ selon maxwell :

$\vec{\operatorname{rot}} \left( \vec{\operatorname{rot}} \vec{E} \right) = - \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{\operatorname{rot}} \vec B \right) = - \frac{\partial}{\partial t} \left( \mu \left( \gamma \vec E + \epsilon \frac{\partial E}{\partial t} \right) \right)$

En utilisant les propriétés des opérateurs vectoriels, soit :

$\vec{\operatorname{rot}}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}\right) = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\vec{E}\right)-\Delta\vec{E}$

nous obtenons alors :

$\overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\vec{E}\right)-\Delta\vec{E} = - \frac{\partial}{\partial t} \left( \mu \left( \gamma \vec E + \epsilon \frac{\partial E}{\partial t} \right) \right)$

Pour un milieu non chargé, ou chargé de manière uniforme, $\operatorname{div} \vec D = \rho$ , une constante, dont le divergeant sera nul. Dans ce cas $\overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\vec{E}\right) = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\frac{\vec{D}}{\epsilon}\right) = 0$

D'où finalement, l'équation d'onde relative au champ électrique $\vec E$

$\Delta\vec{E} - \mu \gamma \frac{\partial \vec E}{\partial t} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t ^2} = \vec 0$

Cette relation se simplifie dans un milieu parfait isolant illimité et non chargé. Dans ce cas, $γ = 0$ , ce qui donne :

$\Delta\vec{E} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t ^2} = \vec 0$

Ou encore, en posant $c^2=\frac{1}{\mu \epsilon}$

$\Delta\vec{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t ^2}$

Pour le champ $B$

La démonstration suivante suppose que le milieu considéré est le vide. On part de la relation :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}\right) = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div} \vec{B}\right)-\Delta\vec{B}$

dans le vide, la densité de courant étant nulle, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$

soit :

$\operatorname{div} \vec{B}=0$

La relation initiale devient alors :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right) = -\Delta\vec{B}$

Grâce au théorème de Schwarz on peut permuter les opérateurs spatiaux et temporels et on a :

$\epsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}\right) = - \Delta\vec{B}$

On peut alors utiliser l'équation de Maxwell-Faraday :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$

On obtient alors à partir de la relation initiale, avec la relation $ε 0 μ 0 c 2 = 1$ :

$\Delta\vec{B} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}$

Voir aussi

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