Équivalent

Pour les articles homonymes, voir équivalence.

En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.

Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Les opérations sur les équivalents sont un outil de calcul.

L'équivalence pour les suites

Définitions

Soient $u n$ et $v n$ deux suites à valeurs réelles ou complexes.

On dit que $u n$ est équivalente à $v n$ , et on note $u_n\sim v_n$ , si la suite $u n - v n$ est négligeable devant la suite $v n$ .

En utilisant la notation petit "o", ceci s'écrit : $u n = v n + o (v n)$ , et se traduit par l'existence d'une suite $\varepsilon_n$ qui tend vers zéro et vérifie $u n = (1 + ε n) v n$ à partir d'un certain rang.

Propriétés

Dans le cas particulier où la suite $v n$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, on a :

$u_n\sim v_n\Leftrightarrow\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=1.$

En particulier si $\ell$ est une constante non nulle :

u n

converge vers $\ell$ si et seulement si elle est équivalente à la suite constante égale à $\ell$ .

La relation « être équivalent à » est une relation d'équivalence.

Exemples

Un équivalent de la somme partielle $H n$ d'ordre $n$ de la série harmonique est $ln(n).$
Un équivalent célèbre est la formule de Stirling : $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n.$
Soit $π$ la suite dont le $n$ -ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$ . Le théorème des nombres premiers affirme que $\pi(n)\sim\frac n{\ln n}.$

L'équivalence pour les fonctions

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, définies sur une partie $A$ de ${}^\R$ , et à valeurs dans ${}^{\mathbb K=\R}$ ou ${}^\C$ , et soit $a$ un point adhérent à $A$ ( $a$ peut être un réel ou ${}^{+\infty}$ ou ${}^{-\infty}$ ).

On dit que $f$ est équivalente à $g$ en $a$ , et on note $f \sim a g$ (ou simplement $f \sim g$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point $a$ que l'on considère) s'il existe une fonction $ε$ définie sur un voisinage $V$ de $a$ telle que :

$lim a ε = 0$
$\forall x\in (V\cap A)\setminus\{a\},~f(x)=(1+\varepsilon(x))g(x).$

Propriétés

Dans le cas particulier où $g$ est non nulle au voisinage de $a$ , on a :

$f\sim_a g\Leftrightarrow\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1.$

En particulier, si $\ell$ est un élément non nul de $\mathbb K$ :

$f\sim_a\ell\Leftrightarrow\lim_af=\ell.$

La relation $\sim_a~$ est une relation d'équivalence.

Si f et g sont à valeurs réelles et si elles sont équivalentes en a, alors
- elles ont même signe « localement autour de $a$ », c'est-à-dire sur un certain voisinage de $a$ ,
- si $\lim_ag=+\infty$ alors $\lim_af=+\infty$ (et de même avec $-\infty$ ).

En général (voir l'article Opérations sur les équivalents), les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation « être équivalent à ». Cependant, l'addition et la composition posent des problèmes.

Remarques

On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions
- définies sur une partie $A$ d'un espace topologique autre que ${}^\R$
- à valeurs dans un espace vectoriel normé sur ${}^{\mathbb K}$ , ou même dans un espace vectoriel topologique sur un corps valué ${}^{\mathbb K}$ autre que ${}^\R$ ou ${}^\C$ .
La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.
La définition précédente est plus naturelle et s'exprime mieux^{[réf. nécessaire]} dans le cadre des espaces de germes de fonctions (en).

Portail de l'analyse

Catégorie :

Analyse réelle

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équivalent de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

équivalent — équivalent, ente (é ki va lan, lan t ) adj. 1° Qui équivaut, qui est de même valeur. Rendre un service équivalent à celui que l on a reçu. 2° Terme de géométrie. Il se dit des surfaces ou des volumes qui ont les mêmes contenances sans avoir… … Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré
Equivalent — E*quiv a*lent ([ e]*kw[i^]v [.a]*lent), n. 1. Something equivalent; that which is equal in value, worth, weight, or force; as, to offer an equivalent for damage done. [1913 Webster] He owned that, if the Test Act were repealed, the Protestants… … The Collaborative International Dictionary of English
equivalent — e‧quiv‧a‧lent [ɪˈkwɪvlənt] noun [countable] something that is equal in value, amount, quality etc to something else: • The Japanese bank had the equivalent of $131 billion in assets on March 31. equivalent adjective : • It must issue 5 million… … Financial and business terms
equivalent — eq·uiv·a·lent n: something that performs substantially the same function as another thing in substantially the same way compare aggregation, combination, invention ◇ Under patent law, a patentee may bring a claim for infringement against the… … Law dictionary
Equivalent — Équivalent Pour les articles homonymes, voir équivalence. La notion d équivalence permet de dire précisément et « mathématiquement » quand deux fonctions ou deux suites ont le même comportement au voisinage d un point ou de l infini.… … Wikipédia en Français
Equivalent — E*quiv a*lent ([ e]*kw[i^]v [.a]*lent), a. [L. aequivalens, entis, p. pr. of aequivalere to have equal power; aequus equal + valere to be strong, be worth: cf. F. [ e]quivalent. See {Equal}, and {Valiant}.] 1. Equal in worth or value, force,… … The Collaborative International Dictionary of English
Équivalent Eq — Équivalent (chimie) Pour les articles homonymes, voir Équivalence. Les équivalents (val ou Eq ou eq) sont une mesure de concentration. Un équivalent est défini comme la masse en gramme d une substance qui peut réagir avec 6,022 x 1023 électrons.… … Wikipédia en Français
equivalent — (adj.) early 15c., from M.Fr. equivalent and directly from L.L. aequivalentem (nom. aequivalens) equivalent, prp. of aequivalere be equivalent, from L. aequus equal (see EQUAL (Cf. equal)) + valere be well, be worth (see VALIANT (Cf … Etymology dictionary
equivalent — Equivalent, [equival]ente. adv. Qui est de mesme prix, de mesme valeur. Je luy donneray un heritage equivalent. une chose equivalente. Il est aussi subst. On n a pu le remettre en possession des villes qu on luy avoit prises, mais on luy en a… … Dictionnaire de l'Académie française
equivalent — ► ADJECTIVE (often equivalent to) 1) equal in value, amount, function, meaning, etc. 2) having the same or a similar effect. ► NOUN ▪ a person or thing that is equivalent to another. DERIVATIVES equivalence noun equivalency noun … English terms dictionary
Equivalent — E*quiv a*lent, v. t. To make the equivalent to; to equal; equivalence. [R.] [1913 Webster] … The Collaborative International Dictionary of English

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Équivalent

Sommaire

L'équivalence pour les suites

Définitions

Propriétés

Exemples

L'équivalence pour les fonctions

Définition

Propriétés

Remarques

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Équivalent

Sommaire

L'équivalence pour les suites

Définitions

Propriétés

Exemples

L'équivalence pour les fonctions

Définition

Propriétés

Remarques

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link