Équation des géodésiques

Équation des géodésiques

On obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition.

Un système de coordonnées xi étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale

\mathrm dl = \sqrt{\pm g_{ij}\mathrm dx^i \mathrm dx^j}.

Le signe optionnel \pm est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable τ, on écrit

\mathrm dl = \sqrt{\pm g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j} \mathrm d\tau,

où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à τ. La longueur de la trajectoire est donc la somme

\int \sqrt{\pm g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j} \mathrm d\tau

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^i} - \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} \left(\frac{\partial \dot{s}}{\partial \dot{x}^i}\right) = 0

avec

\dot{s} = \sqrt{\pm g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j}

La paramétrisation canonique τ = s des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu le symbole de Christoffel (voir Équation géodésique et symbole de Christoffel) :

\ddot{x}^k + \Gamma^k_{ij} \dot{x}^i\dot{x}^j=0

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équation des géodésiques de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Equation des geodesiques — Équation des géodésiques On obtient l équation d une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition. Un système de coordonnées xi étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d une courbe infinitésimale . Le signe… …   Wikipédia en Français

  • Équation géodésique — Équation des géodésiques On obtient l équation d une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition. Un système de coordonnées xi étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d une courbe infinitésimale . Le signe… …   Wikipédia en Français

  • Equation geodesique et symbole de Christoffel — Équation géodésique et symbole de Christoffel Un système de coordonnées étant donné, si l on choisit de paramétrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l équation des géodésiques devient où Γkij est un symbole… …   Wikipédia en Français

  • Équation géodésique et symbole de christoffel — Un système de coordonnées étant donné, si l on choisit de paramétrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l équation des géodésiques devient où Γkij est un symbole de Christoffel. Le point supérieur est la… …   Wikipédia en Français

  • Équation géodésique et symbole de Christoffel — Un système de coordonnées étant donné, si l on choisit de paramétrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l équation des géodésiques devient où Γkij est un symbole de Christoffel. Le point supérieur est la… …   Wikipédia en Français

  • Géodesiques — Géodésique En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l un des plus courts chemins s il en existe plusieurs, entre deux points d un espace pourvu d une métrique (un moyen de mesurer les distances). Lorsque l on change cette… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Equation d'Euler-Lagrange — Équation d Euler Lagrange Pour les articles homonymes, voir Lagrange. L’équation d Euler Lagrange est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels …   Wikipédia en Français

  • Équation d'euler-lagrange — Pour les articles homonymes, voir Lagrange. L’équation d Euler Lagrange est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels de minimisation de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”