Élément symétrique

Élément symétrique

En mathématiques, la notion d'élément symétrique généralise les concepts d'opposé en rapport avec l'addition et d'inverse en rapport avec la multiplication.

Sommaire

Définition

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne \top admettant un élément neutre e\in E. Soit deux éléments a et b de E.

  • Si a\top b = e, a est dit élément symétrique à gauche (ou élément inverse à gauche) de b et b est dit élément symétrique à droite (ou élément inverse à droite) de a.
  • Si a\top b = b\top a = e, a est dit élément symétrique (ou élément inverse) de b.

Un élément x de E qui admet au moins un symétrique à droite est dit symétrisable à droite (ou inversible à droite) ; s'il admet au moins un symétrique à gauche, il est dit symétrisable à gauche (ou inversible à gauche) ; s'il admet au moins un symétrique, il est dit symétrisable (ou inversible).

Propriétés

Dans le cas général, comme pour les éléments neutres à droite et à gauche, il est possible pour un élément donné y d'avoir plusieurs symétriques à droite, ou plusieurs symétriques à gauche. y peut même avoir plusieurs symétriques à droite et plusieurs symétriques à gauche.

Si (E,\top) est un monoïde (c'est-à-dire si \top est associative et si E possède un neutre pour cette loi), et si y possède à la fois un symétrique à droite et un symétrique à gauche, alors ils sont égaux et le symétrique est unique. Dans ce cas, l'ensemble des éléments symétrisables de E est un groupe.

Exemples

  • Si (E,+,\times) est un anneau unitaire alors (E,\times) est un monoïde, dont le groupe des éléments symétrisables est appelé le groupe des unités (ou groupe des inversibles) de l'anneau et noté U(E) ou E^\times.
  • Si E est l'anneau des matrices carrées de taille fixée à coefficients dans un corps K, son groupe des inversibles est le groupe linéaire, constitué des matrices de déterminant non nul. Si le déterminant de M est égal à zéro, elle ne possède aucun symétrique, à gauche comme à droite ; l'existence d'un symétrique à gauche ou à droite implique dans ce cas l'existence d'un symétrique.
  • De façon générale, une matrice carrée sur un anneau commutatif A est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans A.

Voir aussi

Inverse (homonymie) Page d'aide sur l'homonymie


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Élément symétrique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Element symetrique — Élément symétrique En mathématiques, la notion d élément symétrique généralise les concepts d opposé en rapport avec l addition, d inverse en rapport avec la multiplication, d application réciproque pour la composition d applications.… …   Wikipédia en Français

  • Element absorbant — Élément absorbant En mathématiques, un élément absorbant (ou élément permis) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l élément absorbant lorsqu il est combiné… …   Wikipédia en Français

  • Element neutre — Élément neutre En mathématiques, un élément neutre (ou élément identité) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse tous les autres éléments inchangés lorsqu il est combiné avec eux par cette loi.… …   Wikipédia en Français

  • Élément permis — Élément absorbant En mathématiques, un élément absorbant (ou élément permis) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l élément absorbant lorsqu il est combiné… …   Wikipédia en Français

  • Élément absorbant — En mathématiques, un élément absorbant (ou élément permis) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l élément absorbant lorsqu il est combiné avec eux par cette… …   Wikipédia en Français

  • Élément neutre — En mathématiques, un élément neutre (ou élément identité) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse tous les autres éléments inchangés lorsqu il est combiné avec eux par cette loi. Un ensemble… …   Wikipédia en Français

  • symétrique — [ simetrik ] adj. • symmétrique 1530; de symétrie 1 ♦ Vx ou littér. Qui a de la symétrie (I). ⇒ régulier. Dans ces lettres, « tout est mesquin, symétrique et rabougri » (Gautier). 2 ♦ Cour. Qui présente une symétrie, est en rapport de symétrie… …   Encyclopédie Universelle

  • élément — [ elemɑ̃ ] n. m. • Xe; « doctrine » fin IXe; lat. elementum I ♦ Partie constitutive d une chose. 1 ♦ Chacune des choses dont la combinaison, la réunion forme une autre chose. ⇒ 2. composant, composante, ingrédient, morceau, partie. Les éléments d …   Encyclopédie Universelle

  • Élément involutif — ● Élément involutif élément d un ensemble E muni d une loi de composition interne, dont la composition avec lui même donne l élément neutre de E. (Un élément involutif est égal à son symétrique.) …   Encyclopédie Universelle

  • Élément extremum — Extremum « Maximum » et « Minimum » redirigent ici. Pour les autres significations, voir Maximum (homonymie) et Minimum (homonymie) …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”