Élément symétrique

Élément symétrique

En mathématiques, la notion d'élément symétrique généralise les concepts d'opposé en rapport avec l'addition et d'inverse en rapport avec la multiplication.

Sommaire

Définition

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne \top admettant un élément neutre e\in E. Soit deux éléments a et b de E.

  • Si a\top b = e, a est dit élément symétrique à gauche (ou élément inverse à gauche) de b et b est dit élément symétrique à droite (ou élément inverse à droite) de a.
  • Si a\top b = b\top a = e, a est dit élément symétrique (ou élément inverse) de b.

Un élément x de E qui admet au moins un symétrique à droite est dit symétrisable à droite (ou inversible à droite) ; s'il admet au moins un symétrique à gauche, il est dit symétrisable à gauche (ou inversible à gauche) ; s'il admet au moins un symétrique, il est dit symétrisable (ou inversible).

Propriétés

Dans le cas général, comme pour les éléments neutres à droite et à gauche, il est possible pour un élément donné y d'avoir plusieurs symétriques à droite, ou plusieurs symétriques à gauche. y peut même avoir plusieurs symétriques à droite et plusieurs symétriques à gauche.

Si (E,\top) est un monoïde (c'est-à-dire si \top est associative et si E possède un neutre pour cette loi), et si y possède à la fois un symétrique à droite et un symétrique à gauche, alors ils sont égaux et le symétrique est unique. Dans ce cas, l'ensemble des éléments symétrisables de E est un groupe.

Exemples

  • Si (E,+,\times) est un anneau unitaire alors (E,\times) est un monoïde, dont le groupe des éléments symétrisables est appelé le groupe des unités (ou groupe des inversibles) de l'anneau et noté U(E) ou E^\times.
  • Si E est l'anneau des matrices carrées de taille fixée à coefficients dans un corps K, son groupe des inversibles est le groupe linéaire, constitué des matrices de déterminant non nul. Si le déterminant de M est égal à zéro, elle ne possède aucun symétrique, à gauche comme à droite ; l'existence d'un symétrique à gauche ou à droite implique dans ce cas l'existence d'un symétrique.
  • De façon générale, une matrice carrée sur un anneau commutatif A est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans A.

Voir aussi

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