Zéroième groupe d'homologie

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Le zéroième groupe d'homologie d'un espace topologique $X$ est le groupe, ou plutôt le module $H 0 (X, A)$ , où $A$ est un anneau commutatif, et $H * (X,A)$ désigne l'homologie singulière de $X$ à coefficients dans $A$ .

Un 0-simplexe de $X$ est par définition une application continue $\Delta_0\rightarrow X$ où $Δ 0$ est un singleton. Autrement dit, un 0-simplexe est un point de $X$ . Avec cette identification, on a :

C 0 (X, A) = A [X]

On dispose d'une application $A$ -linéaire naturelle $\epsilon:A[X]\rightarrow A$ donnée par :

$\epsilon\left(\sum_Xn(x)x\right)=\sum_Xn(x)\in A$

Théorème — L'application $A$ -linéaire $\epsilon$ s'annule sur les bords et induit un morphisme $A$ -linéaire :

$\epsilon_*:H_0(X,A)\rightarrow A$

Si $X$ est connexe par arcs, alors $\epsilon_*:H_0(X,A)\rightarrow A$ est un isomorphisme.
Dans le cas général, $H 0 (X, A)$ est isomorphe au $A$ -module libre de base l'ensemble $C$ des composantes connexes par arcs de $X$ , et $\epsilon_*:A[C]\rightarrow A$ est l'application naturelle.

Démonstration

Supposons $X$ connexe par arcs et démontrons que $\epsilon_*$ est un isomorphisme de $A$ -modules :

Surjectivité :
Injectivité : Soit $\textstyle c=\sum_Xn(x)x\in A[X]$ avec $\textstyle\sum_Xn(x)=0$ . Fixons un point $y$ de $X$ , et pour chaque $x$ , choississons un arc continu $λ x$ d'origine $y$ et d'extrémité $x$ . Alors :

$\partial\left[\sum_Xn(x)\lambda_x\right]=\sum_Xn(x)\partial\lambda_x=\sum_Xn(x)x-\left[\sum_Xn(x)\right]\cdot y=c-\epsilon(c)y=c$

Donc $c$ est un bord.

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