Zéroième groupe d'homologie

Pour les articles homonymes, voir Homologie.

Le zéroième groupe d'homologie d'un espace topologique $X$ est le groupe, ou plutôt le module $H 0 (X, A)$ , où $A$ est un anneau commutatif, et $H * (X,A)$ désigne l'homologie singulière de $X$ à coefficients dans $A$ .

Un 0-simplexe de $X$ est par définition une application continue $\Delta_0\rightarrow X$ où $Δ 0$ est un singleton. Autrement dit, un 0-simplexe est un point de $X$ . Avec cette identification, on a :

C 0 (X, A) = A [X]

On dispose d'une application $A$ -linéaire naturelle $\epsilon:A[X]\rightarrow A$ donnée par :

$\epsilon\left(\sum_Xn(x)x\right)=\sum_Xn(x)\in A$

Théorème — L'application $A$ -linéaire $\epsilon$ s'annule sur les bords et induit un morphisme $A$ -linéaire :

$\epsilon_*:H_0(X,A)\rightarrow A$

Si $X$ est connexe par arcs, alors $\epsilon_*:H_0(X,A)\rightarrow A$ est un isomorphisme.
Dans le cas général, $H 0 (X, A)$ est isomorphe au $A$ -module libre de base l'ensemble $C$ des composantes connexes par arcs de $X$ , et $\epsilon_*:A[C]\rightarrow A$ est l'application naturelle.

Démonstration

Supposons $X$ connexe par arcs et démontrons que $\epsilon_*$ est un isomorphisme de $A$ -modules :

Surjectivité :
Injectivité : Soit $\textstyle c=\sum_Xn(x)x\in A[X]$ avec $\textstyle\sum_Xn(x)=0$ . Fixons un point $y$ de $X$ , et pour chaque $x$ , choississons un arc continu $λ x$ d'origine $y$ et d'extrémité $x$ . Alors :

$\partial\left[\sum_Xn(x)\lambda_x\right]=\sum_Xn(x)\partial\lambda_x=\sum_Xn(x)x-\left[\sum_Xn(x)\right]\cdot y=c-\epsilon(c)y=c$

Donc $c$ est un bord.

Portail des mathématiques

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Zéroième groupe d'homologie de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

Zeroieme groupe d'homologie — Zéroième groupe d homologie Pour les articles homonymes, voir Homologie. Le zéroième groupe d homologie d un espace topologique X est le groupe, ou plutôt le module H0(X,A), où A est un anneau commutatif, et H*(X,A) désigne l homologie singulière … Wikipédia en Français
Homologie Singulière — Pour les articles homonymes, voir Homologie. En topologie algébrique, l homologie singulière est une construction qui permet d associer à un espace topologique X une suite homologique de groupes abéliens libres ou de modules. Cette association… … Wikipédia en Français
Homologie singuliere — Homologie singulière Pour les articles homonymes, voir Homologie. En topologie algébrique, l homologie singulière est une construction qui permet d associer à un espace topologique X une suite homologique de groupes abéliens libres ou de modules … Wikipédia en Français
Homologie singulière — Pour les articles homonymes, voir Homologie. En topologie algébrique, l homologie singulière est une construction qui permet d associer à un espace topologique X une suite homologique de groupes abéliens libres ou de modules. Cette association… … Wikipédia en Français
Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants … Wikipédia en Français
Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… … Wikipédia en Français
Cohomologie Des Faisceaux — Les groupes de cohomologie d un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines. Formulation Les groupes de cohomologie d un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de… … Wikipédia en Français
Cohomologie des faisceaux — Les groupes de cohomologie d un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines. Formulation Les groupes de cohomologie d un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Zéroième groupe d'homologie

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Zéroième groupe d'homologie

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link