Zeroieme groupe d'homologie

Zeroieme groupe d'homologie

Zéroième groupe d'homologie

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Le zéroième groupe d'homologie d'un espace topologique X est le groupe, ou plutôt le module H0(X,A), où A est un anneau commutatif, et H*(X,A) désigne l'homologie singulière de X à coefficients dans A.

Un 0-simplexe de X est par définition une application continue \Delta_0\rightarrow X où Δ0 est un singleton. Autrement dit, un 0-simplexe est un point de X. Avec cette identification, on a :

C0(X,A) = A[X]

On dispose d'une application A-linéaire naturelle \epsilon:A[X]\rightarrow A donnée par :

\epsilon\left(\sum_Xn(x)x\right)=\sum_Xn(x)\in A

Théorème — L'application A-linéaire ε s'annule sur les bords et induit un morphisme A-linéaire :

\epsilon_*:H_0(X,A)\rightarrow A
  • Si X est connexe par arcs, alors \epsilon_*:H_0(X,A)\rightarrow A est un isomorphisme.
  • Dans le cas général, H0(X,A) est isomorphe au A-module libre de base l'ensemble C des composantes connexes par arcs de X, et \epsilon_*:A[C]\rightarrow A est l'application naturelle.
Démonstration

Supposons X connexe par arcs et démontrons que ε * est un isomorphisme de A-modules :

  • Surjectivité :
  • Injectivité : Soit \textstyle c=\sum_Xn(x)x\in A[X] avec \textstyle\sum_Xn(x)=0. Fixons un point y de X, et pour chaque x, choississons un arc continu λx d'origine y et d'extrémité x. Alors :
\partial\left[\sum_Xn(x)\lambda_x\right]=\sum_Xn(x)\partial\lambda_x=\sum_Xn(x)x-\left[\sum_Xn(x)\right]\cdot y=c-\epsilon(c)y=c

Donc c est un bord.

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