Unités naturelles

Le Système international d'unités est établi en référence à la meilleure traçabilité des données dans le monde. Il est donc inadapté à chaque situation particulière. Étant donné un problème défini par un certain nombre d'équations, ce système d'équations dépend d'un nombre défini de paramètres. Sa solution ne pourra alors que faire intervenir ces paramètres et pas d'autres. Cette lapalissade est néanmoins ce qui permet de construire ce qu'en analyse dimensionnelle on appelle le SUN ou Système d'unités naturelles du problème considéré, si trois de ces paramètres permettent de reconstruire un temps, une vitesse et une masse.

Si d'autres paramètres interviennent, alors il y a apparition de nombre sans dimension (nombre de Reynolds par exemple en hydrodynamique) et on considère des « régimes différents » selon la taille des différents termes en présence.

Sommaire 1 Règle de Wheeler 2 Système d'unités atomiques 3 Précaution 3.1 exemples en thermodynamique 3.2 méthode 3.3 pervéance 4 Généralisation 5 Références 6 Voir aussi

Règle de Wheeler

• Toute cette attitude, familière au physicien, est due au fait que très rarement, en physique, interviennent de grands nombres (on a malgré tout des (2π)⁶ qui peuvent arriver),

ou alors il faut les justifier (par exemple une étoile comme le soleil contient beaucoup de protons, mais pas tant que cela à « l'échelle » justifiée de N* = 10^57 =  ; par exemple aussi, l'indiscernabilité fait intervenir en physique statistique N! qui avec N = 10^24 est assez considérable).

Cette règle qui attribue la valeur 1 au résultat d'un calcul dans le SUN adapté s'appelle règle de Wheeler.

Néanmoins, il existe en physique quelques cas où une variation exponentielle intervient : le franchissement d'une barrière de potentiel par effet tunnel (les temps de demi-vie parcourent trente ordres de grandeur) ou par diffusion thermique (les résistivités parcourent aussi quinze ordres de grandeur). Ou encore le théorème de Nekhoroshev dans la diffusion d'Arnold.

Système d'unités atomiques

Il est le plus familier au physicien-chimiste ; dans l'article système d'unités atomiques a été développée la notion de système de Bohr, et elle a été distinguée du système de Schrodinger ; cela donne une bonne idée de ce que le scaling(l'analyse dimensionnelle, les dimensional units en anglais) peut apporter en physique.

Précaution

Insistons sur le fait qu'il faut d'abord avoir les équations physiques du problème, pour ne pas trop dire de bêtises sur ce sujet.

• L'exemple classique est celui de Taylor sur la bombe atomique :

On raconte que l'armée déclassa en 1950 les photos de la boule de feu d'Hiroshima (6 août 1945). Taylor s'aperçut rapidement que le rayon de la boule ne croissait pas linéairement avec le temps, mais plutôt comme t ^(2/5). Il raisonna ainsi: soit Eo l'énergie de la bombe et a la masse volumique de l'air ; ses équations se construisaient avec ses 2 seuls paramètres. Il écrivît : Eo = mc^2 = (ar^3)(r/t)^2 , soit :

r = t ^(2/5) (Eo/a)^(1/5)

et avec les photos, il en tira la valeur de Eo, avec la « règle de Wheeler ».

Encore fallait-il être Taylor pour savoir écrire les équations de l'explosion ! Nous n'avons pu tirer très vite parti de l'analyse dimensionnelle que parce qu'on avait extrait les bons paramètres.

• Galilée savait très bien que dans toute expérience de chute ralentie sans frottement, la masse m de l'objet n'intervenait pas, car masse inerte/masse grave se simplifiait. Il n'en a pas pour autant inventé la théorie de la relativité générale dans laquelle ce principe d'équivalence joue un rôle crucial.

exemples en thermodynamique

• La loi de Mariotte donne P = 2/3 U/V avec U = 3/2 N kT par définition de la température cinétique. Il peut en déduire la vitesse quadratique moyenne u = sqrt( 3kT/m). On sait peu ou prou que la vitesse c est une vitesse limite. Ce n'est pas pour cela qu'on trouvera l'expression de la loi de Mariotte relativiste.

• La loi de Stefan du corps noir U/V = aT^4 avec a = , peut être retenue mnémotechniquement comme U/V = f( kT, quantique, relativiste), ce qui donnera à peu près le nombre de photons et à peu près PV = N kT . Quant à trouver le résultat EXACT (la théorie donne , voir système d'unités du corps noir)ce n'est pas le dahus qui le donnera ; sans faire la théorie précise auparavant, on risque gros à ce jeu malsain.

méthode

• Poser d'abord les équations physiques.
• Ensuite, a.dimensionner le problème par l'utilisation du SUN approprié.( Certains auteurs ( dont JM Levy-Leblond) préfère dire dé-dimensionner.
• Alors on peut simplifier crûment les équations différentielles, si il n'y a pas de bifurcations cachées.

pervéance

Encore un exemple : la pervéance

dans la théorie de la diode à vide (objet certes un peu désuet), l'expérience donne une caractéristique I = f(U) du type I = P .U^(3/2) en régime de charge d'espace (théorie de Langmuir de la pervéance P), puis saturation (loi de Richardson-Dushman I = f(kT), T température de chauffe de la cathode à revêtement alcalin). Langmuir écrivit l'ensemble de trois équations pour n(x), V(x) et v(x) :

• th de l'énergie cinétique : 1/2 m v² = q V(x)
• conservation de la charge : j = I/S = n(x)qv(x)
• loi de Maxwell-Gauss  : V"(x)= qn(x)/ε₀

Avec V(d) = U, et V'(x) = 0 . Simplifions crûment V"(x) en U/d², le système donne :

I = U^(3/2). P avec

Ce qui donne bien l'ordre de grandeur littéral. On voit ici que le terme S/d^2 ne pouvait être tiré de l'analyse dimensionnelle. Il y a donc « un peu plus » dans la notion de SUN et de dahus.

Généralisation

Trois grandeurs P, Q, R permettant de recalculer un temps, une vitesse et une masse, définissent un SUN du type MKS.

Il y a donc, si on considère au bas mot dix grandeurs fondamentales en physique, SUN qu'un petit programme informatique calcule aisément (en réalité, une pratique régulière de l'homogénéité permet de reconstruire rapidement toute formule de physique : il en résulte une grande performance de ceux qui possèdent cette faculté, dite de Taylor, en l'honneur de ce physicien).

Très caractéristique est le système d'unités de Planck (G-gravité, h-quantique et c-relativiste) : personne ne sait traiter ce problème actuellement ; néanmoins si on vous parle d'une pression supplémentaire qui gonflerait l'Univers un peu plus vite, vous pouvez calculer rapidement que l'unité de pression est d.u = 10^(114) Pa .

Références

• Barenblatt, Dimensional analysis,
• Sedov, Analyse dimensionnelle , ed Mir
• Ibragimov, Symmetries in differential equations , ed CRC
• Migdal, analyse physique qualitative(ed israel translations)
• Gitterman & Halpern, qualitative analysis of physical problems ,1981,ed Ac Press
• Weisskopf : physics is simple (rapport interne du CERN, 1950)

Voir aussi

• analyse dimensionnelle et unité réduites
• nombre sans dimension
• dahus
• Système International d'unités.
• Système d'unités atomiques
• Unités de Planck
• Système d'unités du corps noir
• Système d'unités stellaires
• nombre de Reynolds+ kyrielle qui s'y rattache.
• Cours analyse dimensionnelle Stephan Fauve (ens-Paris)+ Barenblatt déjà cité.