Trigonometrie de Wildberger

Trigonometrie de Wildberger

Trigonométrie de Wildberger

La trigonométrie de Wildberger (dite aussi trigonométrie rationnelle car elle ne fait aucun recours aux nombres irrationnels), constitue une réécriture de la trigonométrie traditionnelle. Elle sen distingue en évitant non seulement lusage des fonctions trigonométriques classiques, mais même lusage de nombre transcendant tel que π dans lécriture des formules.

Elle fut exposée au grand public en septembre 2005 par Norman Wildberger, professeur associé en mathématiques à luniversité de Nouvelle-Galles-du-Sud à Sydney.

Sommaire

Historique

On pratiquait depuis un quart de siècle la trigonométrie entière utilisée dès les premiers jeux graphiques sur ordinateur, afin déviter le recours aux fonctions flottantes dont le calcul était lent (jusquau 80486, les processeur de la gamme i386 navaient pas de coprocesseur arithmétique en standard). Cette trigonométrie simplifiée dont la résolution ne dépassait ni ne voulait dépasser la résolution du pixel présentait le double mérite :

  • de sa simplicité de mise en œuvre (par utilisation intensive à la fois de tables et des formules du style sin(a + b) = sina*cosb + sinb*cosa, etc.
  • dune vitesse de calcul alors largement supérieure à celle du flottant

Toutefois, comme lhéliocentrisme de Copernic lors de son introduction, ce procédé nétait vu au mieux que comme une astuce, un moyen ad hoc de simplifier un problème dans un cadre précis. Il navait en aucune façon été tenté de réécrire toute la géométrie euclidienne dans ce cadre.

Le retournement de Wildberger

Wildberger retourne le problème en partant au contraire des méthodes daddition des sinus et cosinus pris cette fois-ci comme axiomes de théorie, et développe une trigonométrie en nombres rationnels, en présentant cette construction comme plus satisfaisante pour lesprit que lintroduction "classique". Celle-ci évite dintroduire la notion de nombre réel, abstraction certes intéressante en soi, mais qui na pas dintérêt dans le domaine spécifique du calcul numérique : il est toujours possible de pousser une précision aussi loin quon le désire en employant dans son système uniquement des rationnels, et sans avoir, à aucun moment du calcul, à postuler lexistence de nombres réels.

Cette approche nest pas sans rappeler historiquement la reprise de la géométrie dEuclide uniquement par le compas, et sans avoir à utiliser la règle dans les constructions (Georg Mohr et Lorenzo Mascheroni). Selon Wildberger, la construction de la trigonométrie est nettement simplifiée par cette méthode, et il est toujours possible de montrer par la suite que les axiomes choisis correspondent bien à ce qui est observé dans le monde euclidien.

Quadrance

Afin déviter le recours à la notion de racine carrée, cest la notion de quadrance (carré de la distance) qui est utilisée dans cette trigonométrie. Linégalité triangulaire restant respectée, cette modification légère na pas dincidence sur lensemble.

Ouverture

Pour des raisons similaires, et avec les mêmes effets, les angles sont remplacés par des ouvertures (spread) qui sont le carré du sinus de langle. Elles présentent lintérêt elles aussi de se calculer de façon simple en nutilisant que larithmétique des nombres rationnels.

Restriction actuelle

Wildberger na pour le moment achevé cette théorie que pour la géométrie plane.

Positionnement

La démarche de Wildberger sapparente aux méthodes constructivistes à la mode depuis quelques années en mathématiques, et elles-mêmes influencées par les paradigmes de lalgorithmique.

Sur un plan épistémologique et plus généralement philosophique, on y retrouve aussi la traditionnelle complémentarité dapproche entre

et

  • labstraction générale plus typique des mathématiques et de la pensée grecques.

Applications

Les applications par exemple de Conception assistée par ordinateur, de cartographie ou a fortiori des jeux vidéo ont fortement à gagner davancées dans le domaine de la trigonométrie en nombre rationnels.

  • pour résoudre de façon unifiée (cest-à-dire sans bricolages ad hoc, et donc de façon aisément portable) les questions de grandes variations déchelle qui limitent la plage de travail de logiciels comme CATIA : cette géométrie sabstrait en effet des considérations de granulation introduites
    • par larchitecture flottante
    • par les différences considérables de résolution des unités de sortie
    • par les fonctions approchées (polynômes) de calcul des irrationnels : des calculs sur les rationnels se font de façon exacte jusquà larrondi ou lantialiasing final au moment de laffichage, ce calcul pouvant être reporté sur une carte graphique conçue en ce sens
  • afin de gagner largement en vitesse sur les temps de calcul

Cela ne représente toutefois quun simple intérêt anecdotique de la théorie, comme a pu lêtre autrefois la synthèse d'image pour les fractales : intéressant pour la rendre visible, mais ne lui étant pas directement nécessaire.

Liens externes

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