Axiome (mathématiques élémentaires)

Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être admise. Pour certains philosophes grecs de l'Antiquité, un axiome était une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve.

Le mot vient de αξιοειν (axioein), signifiant « considéré comme digne », lui-même dérivé de αξιος (axios), signifiant « digne ».

Sommaire 1 Description 1.1 Épistémologique 1.2 Mathématique 2 Notes 3 Bibliographie 4 Voir aussi 4.1 Articles connexes 4.2 Lien externe

Description

Épistémologique

En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot axiome a une connotation particulière. Un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes.

Mathématique

En mathématiques, le mot axiome désignait une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide. L'axiome est utilisé désormais, en logique mathématique, pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie. L'ensemble des axiomes d'une théorie est appelé axiomatique. Cette axiomatique doit être non-contradictoire ; c'est sa seule contrainte. Cette axiomatique définit la théorie ; ce qui signifie que l'axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie, on dit alors que cette théorie est consistante. Un axiome représente donc plutôt un point de départ dans un système de logique et il peut être choisi arbitrairement. La pertinence d'une théorie dépend de la pertinence de ses axiomes et de son interprétation. En réalité, c'est de la non cohérence de son interprétation que vient la réfutation de la théorie non-contradictoire et, par voie de conséquence, de son axiomatique. L'axiome est donc à la logique mathématique, ce qu'est le postulat à la physique théorique. Des axiomes servent de base élémentaire pour tout système de logique formelle. Par exemple, on peut définir une arithmétique simple, comprenant un ensemble de 'nombre' et une loi de composition interne + à cet ensemble, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) :

1. un nombre noté 0 existe
2. tout nombre X a un successeur noté succ(X)
3. X+0 = X
4. succ(X) + Y = X + succ(Y)

Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes.

En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 : succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit:

succ(X) = X + 1 (axiome 4 et 3)

et

1 + 2 = 1 + succ(1) Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))

1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4

1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))

1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0))

1 + 2 = 2 + 1 = succ(2) + 0 = 0 + succ(2) Axiome 4

1 + 2 = 3 = 0 + 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3)

0 + 1 = 1 + 0 = 1 Axiome 4 et 3 (1+0=1)

X+ succ(X)=succ(X) +X pour tout X Axiome 4.

Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome.

Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1^[1] postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement la géométrie d'Euclide (Hilbert en a utilisé 26 dans son axiomatique de la géométrie euclidienne).

Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La relativité générale est basée essentiellement sur une affirmation que la masse donne à l'espace une courbure, c'est-à-dire que l'espace physique n'est pas euclidien.

Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du XIX^e siècle et dans des développements semblables, par exemple en algèbre booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois a montré que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique.

Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née.

Au XX^e siècle, le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisante pour déduire le principe de récurrence sur les entiers ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée à l'intérieur du système) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).

Notes

Bibliographie

• Robert Blanché, L’Axiomatique – 1955, éd. P.U.F. coll. Quadrige, 112p

Voir aussi

Articles connexes

Axiomes IST de l'analyse non standard Axiomatisation Axiome d'anti-fondation Axiome d'Archimède Axiome du choix Axiome de la paire Axiome de la réunion Axiome de l'ensemble des parties Axiome de l'ensemble vide Axiome de l'infini Axiome de fondation Axiome de Pasch

Axiome de régularité Axiome de remplacement Axiome d'extensionnalité Axiome de la borne supérieure Axiome de séparation Axiome d'Euclide Axiomes de Hilbert de la géométrie euclidienne Axiomes de Peano Axiomes des probabilités postulat de la droite parallèle Mathématiques renversées Théorie des ensembles

Lien externe

• (en) Metamath axioms page

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