Théorème des zéros de hilbert

Théorème des zéros de hilbert

Théorème des zéros de Hilbert

Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème central de géométrie algébrique qui fait le lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

Énoncé

Il existe plusieurs formulations équivalentes du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1

Soit K un corps, L une K-algèbre de type fini.

Si L est un corps, alors L est une extension algébrique finie de K.

Thèorème 2 (Nullstellensatz)

Si K est algébriquement clos, on a :

Si M est un idéal maximal de l'anneau des polynômes en n indéterminées, noté K[X1,...,Xn], il existe un n-uplet (a k) de Kn tel que l'idéal M soit engendré par la famille (X k - a k).


Démonstration

Soit M un idéal maximal de K[X_1,\ldots ,X_n]\,.

L:= K[X_1,\ldots ,X_n] /\ M est une K-algèbre de type fini, et L est un corps puisque M est maximal.

D'après le théorème 1, L est un extension algébrique de K qui est lui même algébriquement clos.

On a donc K=L.

Donc \forall i \ ,\ \exists a_i \in K \ tel\ que\ \bar X_i = \bar a_i \Rightarrow \bar X_i - \bar a_i =0 \Rightarrow X_i-a_i \in M.

On a donc (X_1-a_1,\ldots ,X_n-a_n) \subset M, mais comme M est maximal, on a l'égalité.

Théorème 3 (Existence des zéros)

Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre I de K[X1,...,Xn], il existe un point de Kn racine de tout élément de I.

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X2 + 1 est maximal dans R[X] puisque le quotient de R[X] par M est un corps isomorphe à C, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans r.


Démonstration

Soit K un corps algébriquement clos. Soit I un tel idéal.

I est inclus dans un idéal maximal M, d'où d'après le théorème 2, M=(X_1-a_1,\ldots ,X_n-a_n)\, et donc (a_1,\ldots ,a_n)\in V(I)\Rightarrow V(I) \ne \varnothing.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me des z%C3%A9ros de Hilbert ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème des zéros de hilbert de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme des zeros de Hilbert — Théorème des zéros de Hilbert Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème central de géométrie algébrique qui fait le lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des zéros de Hilbert — Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.… …   Wikipédia en Français

  • HILBERT (D.) — Le mathématicien allemand David Hilbert a ouvert la voie à plusieurs générations de chercheurs et a joué un rôle important dans l’élaboration des idées, non seulement dans sa spécialité, mais dans le cadre d’une réflexion générale sur la science …   Encyclopédie Universelle

  • Hilbert — David Hilbert David Hilbert David Hilbert en 1912 Naissance 23 janvier 1862 Königsberg (Prusse Orientale) …   Wikipédia en Français

  • HILBERT (PROBLÈMES DE) — «Qui ne se réjouirait de pouvoir soulever le voile qui cache le futur, de jeter un regard sur le développement des mathématiques, ses progrès ultérieurs, les secrets des découvertes des siècles à venir?...» Prévoir le futur des mathématiques: qui …   Encyclopédie Universelle

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste Des Théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Liste des theoremes — Liste des théorèmes Liste des théorèmes par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le… …   Wikipédia en Français

  • Liste des théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”